Matematické Fórum

peena · 02. 04. 2009 10:30

Prosil bych o pomoc s tímto zadáním, popř. nějaký postup řešení:

Na parabole o rovnici y=3x+x^2 najděte bod, který je nejblíže bodu [9,9]

Rumburak

Jde o to najít minimum fce

f(x,y) = (x - 9)^2 + (y - 9)^2 (což je čtverec vzdálenosti bodu [x,y] od [9,9])

s vazbou

g(x,y) = x^2 + 3*x - y = 0 .

Toto je typická úloha pro metodu Lagrangeova multiplikátoru , která se snad již dá někde nalézt.
Stručně: Je-li v bodě [u,v] hledaný extrém, pak (jsou-li splněny další předpoklady příslušné věty
a v našem případě splněny jsou) existuje reálné číslo k takové, že

grad f(u,v) = k * grad g(u,v) ,

EDIT: což v našem případě dá spolu s rovnicí g(u,v) = 0 soutavu 3 rovnic o 3 neznámých u , v, k .

peena · 02. 04. 2009 16:25

↑ Rumburak:

Zatím dík, aspoň vím, kde začít

jelena · 02. 04. 2009 19:32

↑ Rumburak:

Zdravím :-)

není to příliš razantní přístup k řešení?

zde v tématech SŠ se řešilo: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=6357 - příspěvek 12

Ostatně - je jaro :-(

To znamená, že informatikové otevřou Normánská okna maximálních obvodu a plechovky maximálních povrchů - a podobné úlohy doporučuji pohledat v období duben - květen 2008 v tématech VŠ.

Rumburak

↑ jelena:
Ano, takto s nižšími teoretickými nároky je rovněž možno postupovat a zřejmě je to i početně snazší (vede to k rovnici "pouze" 3. stupně), ale podlehl jsem pokušení informovat tazatele (v rubrice o VŠ matematice) o obecnější metodě.

Napadl mne jeden způsob ještě elementárnější:
Je-li B = [u, u^2 + 3*u] bod paraboly, v němž je realizována nejmenší hodnota vzdálenosti do daného bodu A = [9, 9], pak vektor B-A je kolmý k tečnému vektoru paraboly v tomto bodě. Směrnice tečny v bodě B je

2*u + 3 ,

za tečný vektor lze vzít (1, 2*u + 3 ) a z výše uvedené podmínky na kolmost získáme rovnici

1*(u - 9) + ( 2*u + 3)*(u^2 + 3*u - 9) = 0 ,

která je ale opět 3. stupně.

phoenixes · 03. 05. 2012 01:51

S dovolením bych se vrátil k tomuto zadání.

Po pročtení některých témat zde jsem došel k funkci:

$f(x)=\sqrt{(x-9)^{2}+(3x+x^2-9)^{2}}$

Funkci jsem zderivoval a hledal hodnoty x, pro které je $f'(x)=0$

Zde je můj první problém - našel jsem "doporučení", že stačí zderivovat výraz pod odmocninou - čím můžu toto tvrzení podložit?

Po úpravě mi vyšly tři nulové body. $x = \pm 2$ a $x=-\frac{9}{2}$

Z toho můžu určit lokální extrémy - a jelikož hledám minimum, zbydou mi dva. Ovšem dle zadání hledáme extrémy globální. Jak tedy postupovat dál? Jak vůbec můžu poznat, který z těchto bodů je bodu [9,9] blíže?

Děkuji za odpověď.

Rumburak

↑ phoenixes:
Druhá odmocnina je rostoucí funkce, takže nerovnosti $\sqrt{f(x)}>\sqrt{f(y)}$ , $f(x)>f(y)$ jsou spolu ekvivalentní. Odtud plyne:
pokud některá z funkcí $\sqrt{f(x)}$ , $f(x)$ má v některém bodě extrém určitého typu, pak v tomtéž bodě má extrém téhož typu i druhá funkce.

Globální extrémy - pokud existují - najdu tak, že spočítám hodnoty lokálních extrémů a vyberu z nich tu největší (hledám-li abs. maximum)
resp. tu nejmenší (hledám-li abs. minimum).
Existence glob. extrémů je zarušena u spojitých funkcí na uzavřeném intervalu (obecněji na kompaktní množině), kde přicházejí v úvahu i krajní
(hraniční) body, v nichž může být lokální extrém. V jiných případech glob. extrémy nemusejí existovat.
Lokální extrém může existovat i v bodě, kde funkce nemá derivaci.

phoenixes · 03. 05. 2012 09:56

↑ Rumburak:

Děkuji mockrát za odpověď a vysvětlení.

Vzpomněl jsem si na tuto teorii (spojitá funkce, uzavřený interval) a nevěděl jsem, jak dále, protože ani jedno z toho nemám. Chápu to tedy správně, že pokud mám spojitou funkci na kompaktní množině, tak je zaručeno, že má globální extrémy - a pokud tyto podmínky nejsou splněny, globální extrémy být můžou, ale nemusí?

A ještě se vrátím k tomu, jak určit onen bod s nejmenší vzdáleností k bodu [9,9].. Při určování glob. extrémů jsme na cvičení dosadili pouze do původní funkce a vybírali nejmenší / největší hodnotu. Tady nám ale dosazení do funkce vrátí pouze ony hledané souřadnice - ale jak poznat, který je ten "pravý"? Vybrat tedy nejmenší z lokálních extrémů?

Děkuji za Váš čas a odpovědi.

Hezký den,

Ondra

Rumburak

↑ phoenixes:

Odpověď na první otázku:

ANO, přesně tak.

Ke druhé otázce:

Když vezmeme dostatečně velké (ale konečné) $r > 0$ a okolo bodu $S[9,9]$ opíšeme uzavřený kruh

$K =\{X \in \mathbb{R}^2 ; |X-S| \le r \}$

o poloměru $r$ , bude UVNITŘ tohoto kruhu ležet i část naší paraboly $p$ . Množina $Q = p \cap K$ je neprázdná a kompaktní, takže každá spojitá funkce
definovaná na této množině nabývá na ní svého globálního minima (krátce GM), což platí speciálně i pro funkci $g(X) := |X-S|$ - odpvídající GM označme $m$ .
Je zřejmé, že $m$ bude GM této fce $g$ nejen přes množinu $Q$ , ale i přes celou parabolu $p$ , přičemž bod, v němž bude realisováno, bude ležet UVNITŘ
množiny $K$ . Tím je dokázáno, že naše úloha má řešení.

Položme $f(x) := g(x,\,x^2 + 3x)$ . Je rovněž zřejmé, že hledané minimum bude realisováno absolutním minimem funkce $f$ , které existuje, při čemž bod $x$ ,
v němž je dosaženo, splňuje $f'(x) = 0$ (protože funkce $f$ má derivaci všude). Kandidáty jsou pouze body $x_{1,2} = \pm 2$ , $x_3=-\frac{9}{2}$ . Z nich vybereme
ten, v němž má funkce $f$ nejmenší hodnotu.