Matematické Fórum

duranga · 19. 01. 2016 17:50

Dobrý den,
zasekl jsem se u jednoho příkladu, chtěl bych vás požádat o pomoc, postup. Na WolframAlpha nemám pro účet, takže se toho moc nedozvím.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/22174_priklady.PNG

Freedy · 19. 01. 2016 18:00

↑ duranga:
o moc jsi nepřišel, wolfram pro všude rve tangens a sekans :D
Zkoušel si substituci tan(x/2) ?

byk7 · 19. 01. 2016 19:01

Platí $\frac{10\bigl(-\cos(x)\bigr)}{\bigl(-\sin(x)\bigr)+2\bigl(-\cos(x)\bigr)}=\frac{10\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}$ , proto volíme substituci $t=\tan(x)$ .

duranga · 19. 01. 2016 21:29

Děkuji za reakce, nicméně v tom tu substituci stále nějak nevidím, můžete to napsat nějak více polopaticky?
Nemám teď na mysli vyřešit celý příklad, zbytek by už neměl být problém, zkrátka zkusit ještě trochu jinak přiblížit, jak k té substituci dojde.

Al1 · 19. 01. 2016 21:51

↑ duranga:

Zdravím,

substituce
$\text{tg}(x)=t\nl x=\text{ arctg} (t)\nl \ dx=\frac{1}{1+t^{2}} \ dt$

$\sin (x)=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}, \cos (x)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$

Po úpravě rozklad na parciální zlomky a samozřejmě i změna integračních mezí.

Sergejevicz · 19. 01. 2016 21:54

To je totiž standardní typ integrálu, píše se o tom např. v mnou doporučovaném Kopáčkovi - integrace racionální funkce s "proměnnou" sin, cos. Vždy funkguje substituce y = tan(x/2). Ale je nutné přejít k polovičnímu argumentu ve všech sinech a cosinech trikem sin(x) = 2*sin(x/2)*coc(x/2) - tj. vzorec pro sinus dvojnásobného argumentu, podobně se použije vzorec pro cosinus. Pak už se tam dá tan(x/2) snadno vyrobit.

Ale existují jednodušší případy. Když je integrand
- sudý v sin(x) i cos(x), funtuje substituce y = tan(x).
- lichý v cos(x), funguje substituce y = sin(x).
- lichý v sin(x), funguje substituce y = cos(x).

Sergejevicz · 19. 01. 2016 21:55

A právě kolega ↑ byk7: ukazuje, že integrand je sudý v sin i cos, a proto se dá použít speciálně substituce y = tan(x).

Jj · 20. 01. 2016 11:58

↑ duranga:

Zdravím.

Pokud se nechcete moc trápit, tak můžete integrál spočítat podle postupu, který tu u podobných integrálů příležitostně uvádím:

$I=\int \frac{\cos x}{\sin x + 2\cos x}\,dx=\int \frac{\cos x-2\sin x}{\sin x + 2\cos x}\,dx+\int \frac{2\sin x}{\sin x + 2\cos x}\,dx=$

$=\ln|\sin x + 2\cos x|+ 2\int \frac{\sin x+2\cos x}{\sin x + 2\cos x}\,dx-4\int \frac{\cos x}{\sin x + 2\cos x}\,dx=$

$=\ln|\sin x + 2\cos x|+ 2\int \,dx-4I$

$\Rightarrow I=\ln|\sin x + 2\cos x|+ 2x-4I\Rightarrow I=\frac{1}{5}(\ln|\sin x + 2\cos x|+ 2x)$

$\int \frac{10\cos x}{\sin x + 2\cos x}\,dx=10I=2\ln|\sin x + 2\cos x|+ 4x+C$

Takže dosadit meze a upravit. Ale podotýkám, že postup podle této rady někomu z fóra ve škole neuznali (když substitucí, tak substitucí !).