Matematické Fórum

Ajax0 · 28. 05. 2016 14:30 — Editoval Ajax0 (28. 05. 2016 14:31)

Dobrý den, narazila jsem na tento příklad ve kterém si nejsem jistá, jak zjistit sklon tečny a rychlost, nevěděl byste někdo ? :)

"Vypočítejte derivaci f v bodě A ve směru s=(3;1). Popište chování dané funkce v bodě v tomto směru s, tj zda je rostoucí/klesající a jak rychle. + odhad sklonu tečny.

$A=[2;-2]$
$\vec{s}=(3;1)$
$f(x;y)=\sqrt{2x-y^{2}+1}$

Zjistila jsem si obor diferenciovatelnosti, vypočítala gradient v bodě A a následně danou derivace v bodě A ve směru s.

$\frac{\partial f}{\partial \vec{s}}(A)= \frac{\sqrt{10}}{2}$

Vím, že směe maximálního růstu je ve směru gradientu a že naopak -grand je směr největšího poklesu. grad(a) = (1;2), z toho porovnala gradient a daný směr a usoudila, že se jedná o rostoucí.

Vim, že derivace funkce v bodě představuje právě směrnici tečny v daném bodě z které bych mohla zjistit sklon tečny podle úhlu. Ale klasickou derivaci = - (parc. derivace podle jedné proměné)/(p.d. podle druhé) nemohu použít, protože se nejedná o fci zadanou implicitně. Nebo to mohu využít i pro explicitně zadanou funkci ?

A podle čeho bych pak mohla zjistit onu rychlost ?

Budu vděčná za každý nápad :)
Díky

jelena · 29. 05. 2016 10:36

Zdravím,

pokud vyšla derivace v bodě A ve směru vektoru s=(3;1) jako $\frac{\partial f}{\partial \vec{s}}(A)= \frac{\sqrt{10}}{2}$ , potom pro posouzení chování funkce v tomto bodě a v tomto směru použiješ jen tento výsledek (udává sklon tečny v zadaných podmínkách, ze znaménka posuzuješ, zda roste nebo klesá a určíš úhel sklonu, což umožní vyhodnotit rychlost).

V bodě A můžeš určit gradient, což bude udávat směr největší "změny" funkce v tomto bodě. Nemusí se shodovat s Tvým zadaným směrem a řekla bych, že ani porovnáním s chováním ve směru gradientu toho moc neposoudíš (pokud nemá směr Tvého vektoru a směr gradientu nějaký speciální vztah, např. je jeden vektor násobkem druhého).

Ale klasickou derivaci = - (parc. derivace podle jedné proměné)/(p.d. podle druhé) nemohu použít, protože se nejedná o fci zadanou implicitně. Nebo to mohu využít i pro explicitně zadanou funkci ?

derivaci ve směru jsi vypočetla. Teď ale máš v plánu použit "klasickou derivaci" :-) Derivaci můžeš určovat jak pro funkci zadanou implicitně, tak i pro explicitní (pokud derivace existuje), ovšem teď nevím, co je účelem tohoto kroku. Zkus si promyslet geometrickou a fyzikální interpretaci Tvého zadání (máte v materiálech obrázky?), zda jsi již všechno splnila, nebo ještě něco potřebuješ - řekla bych, že derivace ve směru je pro Tvé zadání dostačující. Je tak? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2016 14:30 — Editoval Ajax0 (28. 05. 2016 14:31)

derivace funkce v bodě a ve směru

#2 29. 05. 2016 10:36

Re: derivace funkce v bodě a ve směru

Zápatí