Matematické Fórum

Cynyc · 30. 03. 2017 12:00

Dobrý den,

existuje nějaký jednoduchý způsob, jak z běžných vět elementární analýzy dokázat, že má-li funkce na intervalu nezáporné jednostranné derivace, je na něm neklesající? Důkaz, který mám, nevyžaduje nic než definici jednostranných derivací, ale je pro cílovou skupinu, tj. studenty, dosti komplikovaný. Předem děkuji.

Bati · 30. 03. 2017 12:56 — Editoval Bati (30. 03. 2017 12:58)

Ahoj ↑ Cynyc:,
to přece neplatí ne? Třeba funkce $f(x)=0$ na $(0,1]$ , $f(x)=-1$ na $(1,2)$ má nezápornou derivaci zleva všude v $(0,2)$ a přesto tam není neklesající. Z toho mi vychází, že jsi buď neuvedl nějaké předpoklady, anebo tvůj důkaz je špatně.

Cynyc · 30. 03. 2017 13:03 — Editoval Cynyc (30. 03. 2017 13:32)

↑ Bati: Ani jedno, spíše mě nenapadlo, že "nezáporné jednostranné derivace" bude někdo interpretovat jako "jednu nezápornou jednostrannou derivaci". Takže pro jistotu: má-li funkce na intervalu nezáporné OBĚ jednostranné derivace, je na něm neklesající.

Bati · 01. 04. 2017 13:58

↑ Cynyc:
Ok. Jako učitel bys to ale měl formulovat precizně. Neříkám, že to je nutně tvůj případ, ale na střední mě nejvíc vytáčeli vyučující, kteří dali nejednoznačný zadání příkladů a navíc očekávali že vždycky dostanou přesně to řešení, který měli někde na papíře předem napsaný.

K tvojí otázce: V podstatě se stačí podívat do důkazu věty o střední hodnotě a malinko ho poupravit. Proč? Pokud by daná funkce měla klasickou nezápornou derivaci, pak podle obyčejné věty o stř. hodnotě dostaneš $f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$ pro lib. $x<y$ , odkud plyne monotonie. Ve skutečnosti by ti tady ale stačilo vědět, že existuje nějaké c, pro které $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ leží mezi body $f_-'(c)$ a $f'_+(c)$ , protože oba jsou $\geq0$ . Proč by takové c mělo existovat pro funkci, která má pouze jednostranné derivace je intuitivně vidět z grafu např. absolutní hodnoty. Abys to dokázal, stačí fakt jen zopakovat důkaz VoSH pomocí základního tvrzení, že spojitá funkce na uz. intervalu nabývá minima a maxima (spojitost samozřejmě máš).

Cynyc · 01. 04. 2017 19:04 — Editoval Cynyc (01. 04. 2017 20:13)

↑ Bati: Jednostranné rozšíření Rolleovy resp. Lagrangeovy věty je triviální, to normálně vykládám. Problém není v jednostrannosti, ale v absenci předpokladu spojitosti, kterou "samozřejmě" nemám. Takže i kdybych uznal, že formulace o derivacích byla nejednoznačná, stejně interpretujete moje zadání chybně i v tom, co jednoznačné je.

Oprava: jak se ukazuje níže, nejde o chybnou intepretaci, ale důsledek užití jiné, neekvivalentní definice.

Bati · 01. 04. 2017 19:23

↑ Cynyc:
Má-li funkce v nějakém bodě derivaci zprava, pak je tam spojitá zprava. To samé pro levou derivaci. Funkce která je spojitá zprava i zleva je spojitá.

Cynyc · 01. 04. 2017 19:34

↑ Bati: Zjevně užíváte jinou definici derivace než já. Pro mě je $f'_\pm(c)=\lim_{x\to c\pm} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ a existence takové derivace spojitost nijak nezaručuje. Příkladem je funkce signum v nule.

Bati · 01. 04. 2017 19:39 — Editoval Bati (01. 04. 2017 19:53)

↑ Cynyc:
Tak to potom mínus signum by byl protipříklad pro tvý tvrzení.

Ta spojitost plyne z $f(x)-f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}(x-c)\to f'_+(c)\cdot0$ pro $x\to c+$ . Jedině, že bys uvažoval nekonečný derivace, ale to by bylo vhodný předem zmínit.

Cynyc · 01. 04. 2017 19:55 — Editoval Cynyc (01. 04. 2017 20:14)

↑ Bati: Nerozumím. -sgn má v nule zápornou derivaci, takže pokud v inkriminovaném intervalu bude (alespoň jednostranně) nula, není splněn předpoklad nezápornosti derivace, a pokud ne, je na daném intervalu neklesající.

Co se týče nevlastních derivací, považoval jsem je za standard; literatura, z níž čerpám (Jarník, Veselý aj.) shodně nevlastní derivace připouští, proto mě nenapadlo to zdůrazňovat. Teď ale koukám, že třeba definice derivace na anglické wikipedii, ač formálně stejná, zjevně nevysloveně připouští jen konečné derivace. Jde tedy, jak jsem uvedl již výše, o nedorozumění vyplývající z odlišných definic. Pokud připustíme jen vlastní derivace, pak skutečně již máme při jejich existenci spojitost, příslušné věty ovšem potom neplatí ani pro řadu běžných elementárních funkcí jako $\sqrt[3]{x}$ .

jarrro · 01. 04. 2017 20:06

Ako definujete signum v nule ? Ak nula tak je
$\lim_{x\to 0}{\frac{\mathrm{sgn}{$x$}}{x}}=+\infty$

Cynyc · 01. 04. 2017 20:10

↑ jarrro: To je právě, jak se ukazuje, závislé na autorovi. Někteří zjevně připouštějí jen vlastní derivace (viz anglická wikipedie).

Bati · 01. 04. 2017 20:22 — Editoval Bati (01. 04. 2017 20:24)

↑ Cynyc:
Tak co se týče spojitých funkcí s nevlastními derivacemi, tam ta úprava důkazu věty o střední hodnoty projde stejně, ne? Tím pádem zbývá vyřešit skoky. Ty můžou být zjevně jen neklesající a když je odečtu, tak dostanu spojitou funkci s nezměněnou derivací vyjma těch skoků.

Cynyc · 01. 04. 2017 21:13 — Editoval Cynyc (01. 04. 2017 21:31)

↑ Bati: Nějak si to odečtení skoků nedokážu představit. Jak přesně byste z původní funkce udělal tu novou, spojitou? Samozřejmě, když je ten skok jeden, je to jednoduché, ale co když je třeba množina skoků hustá?

Bati · 01. 04. 2017 21:36

↑ Cynyc:
No, prostě bych odečetl po částech konstantní funkci, která by odpovídala těm skokům, to je přece jedno, kolik by jich tam bylo. Spojitost mi nepřijde jako problém, spíš teď nevidím, jak obejít to, že v těch "zespojitěných" bodech neznám jednostranné derivace.

Cynyc · 01. 04. 2017 23:13 — Editoval Cynyc (02. 04. 2017 10:18)

↑ Bati: K definici té po částech konstantní funkce je podle mě nutný součet přes obecnou podmnožinu R, což je konstrukce, která studentům v době, kdy se řeší vztah derivace a monotonie, zdaleka není známa (a na naší škole se s ní neseznamují ani později, jen s obyčejnými řadami). Co se týče derivací v zespojitěných bodech, ty nemusejí existovat - vezměte si libovolnou spojitou neklesající funkci, která v nějakém bodě nemá derivaci třeba zprava, a posuňte funkční hodnotu v tomto bodě dolů. Pak bude mít díky skoku zprava nekonečnou derivaci.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2017 12:00

Důkaz vztahu derivace a monotonie

#2 30. 03. 2017 12:56 — Editoval Bati (30. 03. 2017 12:58)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#3 30. 03. 2017 13:03 — Editoval Cynyc (30. 03. 2017 13:32)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#4 01. 04. 2017 13:58

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#5 01. 04. 2017 19:04 — Editoval Cynyc (01. 04. 2017 20:13)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#6 01. 04. 2017 19:23

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#7 01. 04. 2017 19:34

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#8 01. 04. 2017 19:39 — Editoval Bati (01. 04. 2017 19:53)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#9 01. 04. 2017 19:55 — Editoval Cynyc (01. 04. 2017 20:14)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#10 01. 04. 2017 19:58 Příspěvek uživatele Bati byl skryt uživatelem Bati. Důvod: uz vysvetleno

#11 01. 04. 2017 20:06

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#12 01. 04. 2017 20:10

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#13 01. 04. 2017 20:22 — Editoval Bati (01. 04. 2017 20:24)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#14 01. 04. 2017 21:13 — Editoval Cynyc (01. 04. 2017 21:31)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#15 01. 04. 2017 21:36

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

#16 01. 04. 2017 23:13 — Editoval Cynyc (02. 04. 2017 10:18)

Re: Důkaz vztahu derivace a monotonie

Zápatí