Matematické Fórum

Mishinko · 25. 10. 2017 21:16

Zdravím, vedel by mi niekto prosím pomôcť s nasledujúcou úlohou, kde potrebujem vypočítať polohu ťažiska? Snažil som sa daný útvar rozdeliť na časti ale nie som si istý, či je to správne. Ak áno, ako ďalej postupovať pri riešení príkladu, teda ako dostanem $\sum_{}^{}xi, Ai, \sum_{}^{}Ai , \sum_{}^{}yi$ ? Ďakujem

r= 32cm

Ferdish · 25. 10. 2017 22:37

Akosi neviem z toho obrázku vyčítať, kam si umiestnil ťažisko T4. Pokiaľ je to len preklep a uvažuješ teleso zložené len z troch častí (polkruh, trojuholník a obdĺžnik s dierou), tak máš T2 určené zle.

Vzhľadom na nepravidelnosť tvaru by som sa pokúsil vyjadriť súradnice ťažísk každej z jednotlivých častí vo vlastnej, vhodne zvolenej súradnicovej sústave. Určenie niektorých súradníc sa potom vzhľadom na symetriu telies a ich známe vlastnosti zmení na triviálny úkon.

Keď budem mať súradnice ťažísk všetkých častí telesa, tak celé teleso dám do novej súradnicovej sústavy, prepočítam súradnice ťažísk vzhľadom na novú sústavu a využijem sumačné vzorce pre súradnice ťažiska výsledného telesa $x_T=\frac{\sum_{}^{}x_i m_i}{\sum_{}^{}m_i}, y_T=\frac{\sum_{}^{}y_i m_i}{\sum_{}^{}m_i}$ , kde $x_i,y_i$ je x-ová resp. y-ová súradnica ťažiska i-tej časti telesa a $m_i$ je jej hmotnosť.

Mishinko · 25. 10. 2017 22:46

↑ Ferdish:

To ťažisko T4 som umiestnil tam, kde je tá kružnica, tak neviem či to môžem tak použiť. Čiže budú ťažiská len 3 v tomto prípade?

Ferdish · 25. 10. 2017 23:25

↑ Mishinko:
Záleží od toho, na koľko častí budeš mať rozdelené to teleso. Koľko častí, toľko ťažísk - každej pripadne jedno. Najprv sa teda rozhodni, na koľko a na aké častí chceš mať to teleso rozdelené, a potom sa môžeme baviť ďalej.

Mishinko · 30. 10. 2017 20:31

↑ Ferdish:

Ospravedlňujem sa, že sa ozývam až teraz. Takže robil som zadanie na novo a takto som si rozdelil ťažiská a posledné T5 som dal ťažisko tej malej kružnice. Počítal som to správne, respektíve nie som si istý či som použil hlavne správny vzorec na obsah plochy pre T1

Ferdish · 30. 10. 2017 21:44

Tak to zoberiem postupne:

1. Voči akej vzťažnej sústave si vzťahoval x-ové a y-ové súradnice jednotlivých ťažísk? Nevidím ju v obrázku zaznačenú.

2. Plocha telesa s ťažiskom T1 je polkruh. Aký je vzorec pre plochu (obsah) kruhu? Aká časť kruhu je polkruh?

3. Podľa akého vzorca si určil x-ovú súradnicu ťažiska T1? Ťažisko polkruhu sa síce nachádza na osi jeho súmernosti, ale rozhodne nie v polovici jeho výšky...

Mishinko · 30. 10. 2017 22:06

Začiatok alebo teda bod 0 kde začína x-ová a y-ová os je hneď na začiatku v ľavo ako je rozmer číslo 16. Pri tomto vzorci pre polkruh som si nebol istý, nakoľko v knihe je uvedený tento ktorý som použil, takže obsah polkružnice bude $\pi r^2/2?$ . Takže znázornené T1 som v obrázku určil zle? Kde sa potom nachádza? x-ovú súradnicu T1 som určil ako polovicu vzdialenosti od začiatku po 16cm, čiže 8cm.

Ferdish · 30. 10. 2017 22:31

↑ Mishinko:
Obsah polkruhu určite nemôže byť $\frac{4}{3}\pi r$ (predpokladám, že číslo 16 v tej prvej zátvorke v čitateli je polomer toho polkruhu). Ani rozmerovo by to nesedelo - rozmerová veličina (polomer) by musela byť v druhej mocnine, aby výsledok mal rozmer plochy.
Zrejme si to len zle opísal, prípadne pomýlil s iným vzorcom. $\frac{4}{3}\pi r$ veľmi pripomína vzorec na výpočet objemu gule, ale to by v ňom musel byť polomer v tretej mocnine.

Ako som povedal: y-ovú súradnicu ťažiska T1 máš určenú dobre, ale x-ová je určená zle - nie je to "v polovici vzdialenosti od začiatku po 16", ako si to nazval.
Vzorček na jej výpočet sa dá dohľadať na googli (ak ti to cvičiaci uzná, že si ho vedel "z hlavy"), alebo môžeš pozrieť sem, prípadne dopočítať cez integrálny vzorec, viď Wiki alebo tvoje prednáškové poznámky.

Mishinko

↑ Ferdish:

Jasné to bol preklep, tento vzorec že som použil nakoľko som ho nesprávne použil zo skrípt. Tento vzorec ukazuje x-ovú súradnicu pri polkruhovej ploche.

Neviem ktorý vzorec na výpočet treba použiť či polkržnicu alebo polkruhovú plochu ale v tomto prípade by to malo byť na polkruhovú plochu? Takže $\frac{4}{3\pi }16=6,8cm$ a keďže začiatok je na konci mojej osi toho polomeru 16, tak dám $16-6,8 = 9,2$ takže x-ová súradnica T1 bude 9,2cm?

A ešte som chcel. že ten obsah polkruhu sa vypočíta teda $\frac{\pi r^{2}}{2}$ ?

Ferdish · 31. 10. 2017 13:12

Mishinko napsal(a):
Neviem ktorý vzorec na výpočet treba použiť či polkržnicu alebo polkruhovú plochu ale v tomto prípade by to malo byť na polkruhovú plochu? Takže $\frac{4}{3\pi }16=6,8cm$ a keďže začiatok je na konci mojej osi toho polomeru 16, tak dám $16-6,8 = 9,2$ takže x-ová súradnica T1 bude 9,2cm?

Správne.

Mishinko napsal(a):
A ešte som chcel. že ten obsah polkruhu sa vypočíta teda $\frac{\pi r^{2}}{2}$ ?

To snáď nemyslíš vážne, že ako študent vysokej školy nevieš na takúto otázku odpovedať sám???

Mishinko · 31. 10. 2017 13:30

↑ Ferdish:

Nebol som si len istý, nakoľko ma zmiatol aj ten rozdielný výpočet x-ovej súradnice pre polkružnicu a polkruh, tak kvôli tomu či netreba ešte niečo. A zvyšné výpočty a súradnice sú správne?

Ferdish · 31. 10. 2017 14:04

Ťažisko je podľa definície bod, v ktorom je vážený priemer relatívnych pozícií distribuovanej hmotnosti rovný nule. Jednoduchšie povedané - pozícia ťažiska telesa/útvaru bude záležať od rozloženia látky (hmoty) v ňom.

Polkružnica je krivka (môžeš si ju predstaviť ako ohnutý drôt), polkruh je plocha-plošný útvar. Rozdielne rozloženie hmoty v priestore => rozličná poloha ťažiska.

Ostatné súradnice vyzerajú byť vypočítané dobre.

Mishinko · 31. 10. 2017 17:30

Super, ďakujem ti.

Ferdish · 31. 10. 2017 19:10

Niet za čo, aj nabudúce. Ak nemáš ďalšie otázky, prosím označ tému za vyriešenú.

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2017 21:16

Poloha ťažiska

#2 25. 10. 2017 22:37

Re: Poloha ťažiska

#3 25. 10. 2017 22:46

Re: Poloha ťažiska

#4 25. 10. 2017 23:25

Re: Poloha ťažiska

#5 30. 10. 2017 20:31

Re: Poloha ťažiska

#6 30. 10. 2017 21:44

Re: Poloha ťažiska

#7 30. 10. 2017 22:06

Re: Poloha ťažiska

#8 30. 10. 2017 22:31

Re: Poloha ťažiska

#9 31. 10. 2017 11:17 — Editoval Mishinko (31. 10. 2017 11:18)

Re: Poloha ťažiska

#10 31. 10. 2017 13:12

Re: Poloha ťažiska

Mishinko napsal(a):

Mishinko napsal(a):

#11 31. 10. 2017 13:30

Re: Poloha ťažiska

#12 31. 10. 2017 14:04

Re: Poloha ťažiska

#13 31. 10. 2017 17:30

Re: Poloha ťažiska

#14 31. 10. 2017 19:10

Re: Poloha ťažiska

Zápatí