Matematické Fórum

lenisek · 18. 05. 2009 15:02

Zdravím všechny matematiky. mám tu příklad na goniometrické rovnice a nevím proč je počet řešení ve výsledku 3.
rovnice zní.
odmocnina ze 2 (sin^2x - cos^2x) = -1
v intervalu <0,3/2pi>
prosím taky o kontrolní výpočet nevím jestli můj postup je správný. Já si myslím,že řešení jsou dvě nevím kde mám chybu.

lenisek · 18. 05. 2009 19:33

Prosím halo nikdo mi nemůže pomoci?

marnes · 18. 05. 2009 20:00

↑ lenisek:
odmocnina ze 2 (sin^2x - cos^2x) = -1 závorka je - cos 2x
odm2 . cos 2x =1 dělím odmocninou a hned usměrním
cos 2x=odm2/2 sub
cos u=odm2/2
u´= 45 st
u1=135 st + k.360 st
u2=225 st + k.360 st

x1=67,5st + k.180 st
x2=112,5 st + k.180 st

řešení x1=67,5
x2=135
x3=202,5
x4=270
x5=112,5
x6=225

Tak teď nevím, mě jich vyšlo celkem 6. Leda bych ještě špatně pochopil tůj zápis. Ale návod by tam měl být

adamo · 18. 05. 2009 23:44 — Editoval adamo (18. 05. 2009 23:45)

A já jsem to zadání pochopil ještě jinak, v těch zápisech bez TeXu aby se prase vyznalo :-)

$\sqrt{2(sin^2 x - cos^2 x)} = -1 \nl \sqrt{2(cos2x)} = -1 \nl 2(cos2x) = 1 \nl cos2x = \frac{1}{2} \nl 2x = 60 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\nl x = 30 = \frac{\pi}{6} + k\pi \nl x_1 = \frac{\pi}{6} \nl x_2 = \frac{7 \pi}{6} \nl x_3 = \frac{13 \pi}{6} \nl$

Nebude to zadání a řešení spíš takhle ??

O.o · 19. 05. 2009 06:54

↑ adamo:

Ahoj -),

to je ta problémová část, protože na začátku máš druhou odmocninu a z té v R dostaneš jen kladná čísla, takže hned první rovnost neplatí.

Cheop · 19. 05. 2009 07:17

↑ lenisek:
Tak jak jsem to pochopil já, tak mě vychází v předmětném intervalu 2 řešení:
$x_1=\frac{\pi}{8}\nlx_2=\frac{9\pi}{8}$

Cheop · 19. 05. 2009 07:21

↑ adamo:
Tvoje řešení x_3 je už mimo požadovaný interval.

Alivendes · 19. 05. 2009 08:02

máš to špatně, $cos2x=cos^2x-sin^2x$
tedka sem to počítal a je to nějaký divný

jelena · 19. 05. 2009 08:55 — Editoval jelena (19. 05. 2009 08:58)

Zdravím vás,

marnes napsal(a):
u´= 45 st
u1=135 st + k.360 st
u2=225 st + k.360 st

myslím, že tady bude malý překlep:

pokud $\cos u=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , pak u_1 = 45, u_2 = 315 (periody, dopočty pro x atd.)

Může být?

-------------
Odpusť, Oline!

Cheop · 19. 05. 2009 09:03 — Editoval Cheop (19. 05. 2009 09:04)

↑ jelena:
Ano máš pravdu, pak v uvedeném intervalu bude řešení:
$x_1=\frac{\pi}{8}\nlx_2=\frac{7\pi}{8}\nlx_3=\frac{9\pi}{8}$ což jsou opravdu 3 požadovaná řešení.

PS: Jsi prostě hlava mapa.

jelena · 19. 05. 2009 09:08

↑ Cheop:

Zdravím a děkuji za doplnění :-)

jen jsem kontrolovala, zda jsem se již probudila (a že by jo?) - mám totiž dovolenou.

Ať se vede :-)

vonSternberk · 19. 05. 2009 09:38

můžete mi někdo napsat jak se počítá toto?
řešte rovnici $sin^2x-cos^2x=0,5$ pro $x\in<0,2\pi>$

marnes · 19. 05. 2009 09:43

↑ jelena:Děkuji. Proč jsem počítal záporné a ne kladné nevím:-(

marnes · 19. 05. 2009 09:45 — Editoval marnes (19. 05. 2009 09:46)

↑ vonSternberk: $sin^2x-cos^2x=0,5$
$-(cos^2x-sin^2x)=0,5$
$-(cos2x)=0,5$
zbytek zvládneš

Cheop · 19. 05. 2009 10:04

↑ vonSternberk:
Já bych to počítal takto:
$\sin^2x-\cos^2x=\frac 12\nl1-\cos^2 x-\cos^2 x=\frac 12\nl2\,\cos^2 x=\frac 12\nl\cos x=\pm\,\frac 12\nlx_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi\nlx_2=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\nlx_3=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\nlx_4=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

vonSternberk · 19. 05. 2009 10:15

↑ Cheop: takto jsem to taky počítal, ale nechápu když máš 2cos^2x=1/2 jak jsi dostal cosx=+-1/2??

Cheop · 19. 05. 2009 10:29 — Editoval Cheop (19. 05. 2009 10:30)

↑ vonSternberk:
$2\,\cos^2 x=\frac 12\nl\cos^2 x=\frac 14\nl\cos x=\sqrt{\frac 14}\nl\cos x=\pm\,\frac 12$

adamo · 19. 05. 2009 10:34 — Editoval adamo (19. 05. 2009 10:35)

↑ O.o:
Nojo :-[. Budiž mi omluvou pokročilá hodina ve které jsem to psal :)

↑ Cheop:
myslím že konec intervalu je $\frac{3\pi}{2}$ , takže tam moje x_3 patří, ale celej příklad stejně padá na prvním řádku :-)

vonSternberk · 19. 05. 2009 10:45

chci se ještě zeptat na toto:
řešte rovnici $cotg\frac{x}{2}=1+cosx$ pro $x\in<0,2\pi>$
já se zasekkl hned na začátku, jen toto jsem vymyslel:
$\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}=1+cosx$

musixx · 19. 05. 2009 10:48

↑ vonSternberk:
goniometricka jednicka s uhlem x/2: $1=\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2$
dvojnasobny uhel v argumentu cosinu: $\cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2$
a mas vsechno s argumentem $\frac x2$ .

Cheop · 19. 05. 2009 10:55

↑ adamo:
Pokud tedy umím počítat: 13*180/6 =390 > 270

Cheop · 19. 05. 2009 11:56

↑ vonSternberk:
$\cot\left(\frac x2\right)=1+\cos x\nl\frac{\cos\left(\frac x2\right)}{\sin\left(\frac x2\right)}=\sin^2\left(\frac x2\right)+\cos^2\left(\frac x2\right)+\cos^2\left(\frac x2\right)-\sin^2\left(\frac x2\right)\nl\frac{\cos\left(\frac x2\right)}{\sin\left(\frac x2\right)}=2\,\cos^2\left(\frac x2\right)\nl\cos\left(\frac x2\right)=2\,\cos^2\left(\frac x2\right)\cdot\sin\left(\frac x2\right)\nl\cos\left(\frac x2\right)\left(\sin x-1\right)=0\nl\cos\left(\frac x2\right)=0\,\vee\,\sin x-1=0$
1) $\cos\left(\frac x2\right)=0$ substituce $\frac x2=t$
$\cos t=0\nlt_1=\frac{\pi}{2}\nlt_2=\frac{3\pi}{2}$ vratka k substituci:
$\frac x2=\frac{\pi}{2}\nlx_1=\pi\nl\frac x2=\frac{3\pi}{2}\nlx_2=3\pi\,\textrm\,{ne}$
2) $\sin x=1\nlx_2=\frac{\pi}{2}$
Řešení:
$x\in\left(\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right)$

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2009 15:02

Goniometrické rovnice

#2 18. 05. 2009 19:33

Re: Goniometrické rovnice

#3 18. 05. 2009 20:00

Re: Goniometrické rovnice

#4 18. 05. 2009 23:44 — Editoval adamo (18. 05. 2009 23:45)

Re: Goniometrické rovnice

#5 19. 05. 2009 06:54

Re: Goniometrické rovnice

#6 19. 05. 2009 07:17

Re: Goniometrické rovnice

#7 19. 05. 2009 07:21

Re: Goniometrické rovnice

#8 19. 05. 2009 08:02

Re: Goniometrické rovnice

#9 19. 05. 2009 08:55 — Editoval jelena (19. 05. 2009 08:58)

Re: Goniometrické rovnice

marnes napsal(a):

#10 19. 05. 2009 09:03 — Editoval Cheop (19. 05. 2009 09:04)

Re: Goniometrické rovnice

#11 19. 05. 2009 09:08

Re: Goniometrické rovnice

#12 19. 05. 2009 09:38

Re: Goniometrické rovnice

#13 19. 05. 2009 09:43

Re: Goniometrické rovnice

#14 19. 05. 2009 09:45 — Editoval marnes (19. 05. 2009 09:46)

Re: Goniometrické rovnice

#15 19. 05. 2009 10:04

Re: Goniometrické rovnice

#16 19. 05. 2009 10:15

Re: Goniometrické rovnice

#17 19. 05. 2009 10:29 — Editoval Cheop (19. 05. 2009 10:30)

Re: Goniometrické rovnice

#18 19. 05. 2009 10:34 — Editoval adamo (19. 05. 2009 10:35)

Re: Goniometrické rovnice

#19 19. 05. 2009 10:45

Re: Goniometrické rovnice

#20 19. 05. 2009 10:48

Re: Goniometrické rovnice

#21 19. 05. 2009 10:55

Re: Goniometrické rovnice

#22 19. 05. 2009 11:56

Re: Goniometrické rovnice

Zápatí