Matematické Fórum

katka.nov · 25. 03. 2018 18:41

Dobrý den,

chtěla jsem se zeptat, jestli by mi mohl někdo vysvětlit souvislosti mezi Taylorovou řadou a integrováním/derivováním. Procházím si příklady k procvičování, ale u těchto jsem se zasekla. Klasický Taylorův polynom si ze zadání vytvořit umím, ale zde se prý postupuje nějak jinak. Má se zde určit součet Taylorovy řady. Pro obor konvergence platí (předpokládám) stejná pravidla jako pro mocninné řady - tedy -1 < x < 1. Jedná se o příklady typu
$\frac{1}{x-1}, x_{0}=0$
nebo
$\frac{1}{1-3x^{2}}, x_{0}=0$ .

Existuje na tyto příklady nějaký univerzální návod?
Mockrát předem děkuji za vysvětlení.

jarrro · 26. 03. 2018 12:46 — Editoval jarrro (02. 04. 2018 00:57)

Univerzálne je počítať derivácie a odhadnúť zvyšok ( napr. Pomocou Taylorovej vety.)
V tých konkrétnych úlohách je geometrický rad (pozor na obor konvergencie v 2. úlohe. Musí byť $-1<3x^2<1$ )

Rumburak · 26. 03. 2018 13:42

↑ katka.nov:

Ahoj.

Máme-li dané funkce rozvinout do T. řady se středem v daném bodě, pak lze
v těchto případech využít znalost o součtu konvergentní geometrické řady
s počátečním členem 1 a kvocientem $q$ při podmínce $|q| < 1$ . Příslušný
vzorec známý ze stř. šk. říká, že za uvedené podmínky platí

$\sum_{n=0}^{\infty}q^n = \frac{1}{1-q}$ .

V našich úlohách o rozvoji funkcí v T.ř. použijeme tento vzorec ve směru
"zprava doleva".

katka.nov · 26. 03. 2018 14:08

↑ jarrro:

Dobrý den,
moc děkuji. :)

Včera jsem se ještě na nějaké příklady tohoto typu dívala - a tam se postupuje tak, že chceme ve jmenovateli dostat tvar
$\frac{1}{1-x}$ .

V tomto případě bychom si tedy upravili výraz na $\frac{1}{-3x^{2}\cdot (1-\frac{1}{3x^{2}})}$ ?

Potom se v těch řešených příkladech obor konvergence určuje podle toho upraveného x-výrazu, tedy:
$-1<\frac{1}{3x^{2}}<1$
Z toho také vychází obor konvergence $K = (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ jako Vám, ale když se chci dopočítat k finálnímu součtu řady, nevyjde mi $\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}2x^{n}$ .

Podle těch řešených příkladů se pokračuje s výrazem ze jmenovatele, tedy:
$-\frac{1}{3x^{2}}\sum_{n=0}^{\infty }(-\frac{1}{3x^{2}})^{n}$

Z tohoto se ale nějak nemůžu dostat k tomu výsledku.

Moc děkuji za pomoc. :)

katka.nov · 26. 03. 2018 14:10

↑ Rumburak:

Dobrý den/Ahoj,

takže to je ten postup, kdy z toho chceme "vyjádřit" ten tvar $\frac{1}{1-x}$ , že? :)

Jj · 26. 03. 2018 15:04 — Editoval Jj (26. 03. 2018 15:08)

↑ katka.nov:

Dobrý den.
U příkladu $\frac{1}{1-3x^{2}}$ využije této rady kolegy ↑ Rumburaka: $\frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^{\infty}q^n$

Ze srovnání výrazů plyne, že "Vaše" $q = 3x^2$ , což po dosazení hned dá výsledek rozvoje

$\frac{1}{1-3x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(3x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}3^n x^{2n}$
a obor konvergence $|q|<1 \Rightarrow |3x^2| <1\Rightarrow x\in \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

atp. u ostatních podobných příkladů.

Rumburak

↑ katka.nov:

Ano, s rozvojem $\frac{1}{x-1}, x_{0}=0$ analogicky:

$\frac{1}{x-1} = - \frac{1}{1-x} = - \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)x^n$ ,

pokud $|x| < 1$ .

katka.nov · 26. 03. 2018 18:10

↑ Jj:↑ Rumburak:

Mockrát děkuji. :)

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2018 18:41

Součet Taylorovy řady

#2 26. 03. 2018 12:46 — Editoval jarrro (02. 04. 2018 00:57)

Re: Součet Taylorovy řady

#3 26. 03. 2018 13:42

Re: Součet Taylorovy řady

#4 26. 03. 2018 14:08

Re: Součet Taylorovy řady

#5 26. 03. 2018 14:10

Re: Součet Taylorovy řady

#6 26. 03. 2018 15:04 — Editoval Jj (26. 03. 2018 15:08)

Re: Součet Taylorovy řady

#7 26. 03. 2018 16:09 — Editoval Rumburak (26. 03. 2018 16:15)

Re: Součet Taylorovy řady

#8 26. 03. 2018 18:10

Re: Součet Taylorovy řady

Zápatí