Matematické Fórum

vanok · 18. 11. 2018 19:15 — Editoval vanok (05. 12. 2018 04:43)

Pozdravujem, tu dam indikacie na vysetrenie rekurentnych postupnosti ktore splnuju :
$u_0$ dane a
$u_{n+1}=\frac {au_n+b}{cu_n+d}$ $(1)$
a tiez $ad-bc \neq 0 \wedge c\neq0$ .

Je ozaj uzitocne dobre poznat tieto vlasnosti.

Ak tato postupnost ma limitu $l$ tak $l=\frac {al+b}{cl+d}$ .

V pripade, ze posledna rovnica ma 2 rozne korene $x_1>x_2$
$(1)$ sa da napisat v forme $u_{n+1}=\frac {u_{n+1}-x_1}{u_{n+1}-x_2}=q\frac {u_{n}-x_1}{u_{n}-x_2}$ .

V pripade, ze ta rovnica ma ma dvojnasobny koren $x_1$
$(1)$ sa da napisat v forme $\frac 1{u_{n+1}-x_1}=\frac 1{u_{n}-x_1}+h$

Ako to vyuzit; to necham na vas.

vanok · 18. 11. 2018 19:26 — Editoval vanok (24. 11. 2018 17:30)

Vyriesme konkretny problem a tak ukazme ako sa moze postupovat.

Pozor tu nejde o kompletne riesenie, (ide skor dam navod ako na to).

Nech $u_0=\frac 12$
a $u_{u+1}=\frac{5u_n+3}{u_n+4}$ , pre lubovolne prirodzene $n$ .

I) ukazme najprv, ze postupnost je dobre definovana ( dokonca $u_n>0$ )
Dokaz sa da urobit matematickou indukciou.

II)uvazujme funkciu $f$ definovanu na $]-4;+\infty[$ taku ze $f(x)=\frac {5x+3}{x+4}$ .
a) najdime najprv riesenie rovnice $f(x)=x$ ( ukazeme, ze tato rovnica ma dva korene : $x_1>x_2$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

b) ukazte, ze $f$ je rastuca

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2) ukazte, ze $(\frac {u_n-x_1}{u_n-x_2})$ je geometricka postupnost
Overte si tu vas postup

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A tak mame $\frac {u_n-x_1}{u_n-x_2}= {\lambda }^n . \frac {u_0-x_1}{u_0-x_2}$ , kde $|\lambda |<1$ ( to vam necham dokazat).
3)Teraz, lahko ukazete, ze $u_n$ sa da vyjadrit vdaka $u_0$ a $n$ .
Kontrola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

4) teraz urcite vieme urcit limitu postupnosti.

5) Ak by nam islo len o limitu postupnosti, tak ju mozme nast aj inac. ( dokaz, necham citatelom)
a) ukazme indukciou, ze $\forall n \in \Bbb N, u_n\leq u_{n+1}$
b) a tiez $\forall n \in \Bbb N, u_n\leq x_1$
c) ukazte sami, ze dana postupnost konverguje k $x_1$

Pavel · 19. 11. 2018 16:48 — Editoval Pavel (19. 11. 2018 16:50)

↑ vanok:

Jen poznamenám, že rekurence, kterými se zabýváš, lze explicitně vyřešit. Ta, kterou uvádíš, má tvar

$u_n=\frac 12\cdot\frac{\left(1+\sqrt{13}\right)\cdot\left(9+\sqrt{13}\right)^n+\left(1-\sqrt{13}\right)\cdot\left(9-\sqrt{13}\right)^n}{\left(9+\sqrt{13}\right)^n+\left(9-\sqrt{13}\right)^n}\,,\quad n\in\mathbb N_0$

vanok · 19. 11. 2018 23:12 — Editoval vanok (20. 11. 2018 22:56)

Cau ↑ Pavel:,
Mas pravdu. To jeden objektiv tohto vlakna.
No vsak tu ukazem foristom ako sa pride k takym vysledkom. ( dat im len odpoved podla mna v tomto pripade nestaci)

vanok · 24. 11. 2018 18:48

Dufam, ze priklad dany v #2 vam ukazal, ako riesit podobne problemy.

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2018 19:15 — Editoval vanok (05. 12. 2018 04:43)

Homograficke postupnosti

#2 18. 11. 2018 19:26 — Editoval vanok (24. 11. 2018 17:30)

Re: Homograficke postupnosti

#3 19. 11. 2018 16:48 — Editoval Pavel (19. 11. 2018 16:50)

Re: Homograficke postupnosti

#4 19. 11. 2018 23:12 — Editoval vanok (20. 11. 2018 22:56)

Re: Homograficke postupnosti

#5 24. 11. 2018 18:48

Re: Homograficke postupnosti

Zápatí