Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobrý den,
je li báze duálního vektorového prostoru indukovaná bází definována vztahem , znamená to, že k ortonormální bázi má báze duálního prostoru stejné prvky a tedy složky (souřadnice) vektoru a kovektoru jsou stejné?
Díky.
Petr
Offline
Ahoj.
Duální baze nemůže mít stejné prvky. Jedno jsou vektory a druhé formy.
složky (souřadnice) vektoru a kovektoru jsou stejné?
Jak se definuje kovektor k danému vektoru?
Offline
Neřeším jak jsou prvky uspořádané, ale jen že by měli být stejné, aby platila definice duální báze přes Kroneckerovo delta. Jaká je tedy duální báze k bázi ? Není stejná akorát každý bázový vektor je transponovaný?To samé tedy i pro složky (souřadnice)? To jestli píšeme vektory do řádku nebo do sloupce je jen otázkou konvence a definice skalárního součinu, ne? Nejsou kontravariantní a k nim duální kovariantní tenzory, tedy např. lineární formy a vektory, stejnými invariantními objekty jen v jiných bázích?
Offline
Takže vektory zapisujete asi takhle
a formy
tak, aby .
Pak přiřadit
znamená buďto použít přirozený izomorfismus prostoru a jeho duálu , nebo využít nějakého skalárního součinu . Druhý pohled se shoduje s prvním, když jsi v ON bazi.
No a víc asi ze mě nedostaneš, protože mluvíme jiným jazykem, tak snad někdo jiný pomůže.
Offline
↑ Roscelinius:
Ahoj, jestli si dobre pamatuju tak k bazi je dualni baze tvorena linearnimi formami
, kde . Souradnice kazde z bazovych forem vzhledem k bazi jsou pak samozrejme .
Myslim, ze (zvlaste) fyzikove radi pouzivaji zkratku a vynechavaji fakt, ze se jedna o souradnice vzhledem k bazi.
Na druhou stranu lze jejich pocinani opodstatnit pouzitim Rieszovy vety o reprezentaci funkcionalu:
Kazdou linearni formu lze totiz jednoznacne reprezentovat prvkem tak, ze . Namisto tedy staci pocitat s .
Pro linearni formy pak tedy plati .
Offline
Riezsova veta zde neni potreba- jsme jen v konecne dimenzi. Vsechny spojite funkcionaly na R^n se daji reprezentovat pomoci vektoru, pricemz dualita je reprezentovana skalanim soucinem. Pro tvou konkretni (kanonickou) bazi samozrejme dostanes tu samou bazi dualniho prostoru, ponevadz prave kdyz .
Offline
Sice asi ukážu, že jsem toho ještě hodně nepochopil, ale jaký má smysl zavádět lineární formy, když vždy mohu v konečných prostorech nalézt ortonormální bázi, která je stejná jak ta k ní duální? Proč nejde vnější algebra vystavět na vektorech? Díky
Offline
Ahoj ↑ Roscelinius:,
Poznamka.
Mozno tu najdes dalsie uzitocne informacie
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dual_basis
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Base_duale
Offline
↑ Roscelinius:
Když se o tom nebude mluvit, neznamená to, že to tam nebude. Podle mě je občas třeba znát hodnotu skalárního součinu dvou vektorů (číslo) a to někdy představuje důležitý fyzikální invariant (co si matně vybavuju). Ale skalární součin sám o sobě je bilineární forma a když už se mu dá jeden vektor a čeká na druhý, jedná se o lineární formu.
Ve fyzice jsou fajn odpovídatelé, kteří rádi píší o str lidem, kteří nejsou lidoví myslitelé. Třeba by stálo za to se ptát tam.
Offline
Ahoj ↑ Roscelinius:,
Len tak pre zaujimavost:
Dokazes najst dualnu bazu tejto
e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 0, −1) a e3 = (0, 1, 1).
Offline
Roscelinius napsal(a):
Sice asi ukážu, že jsem toho ještě hodně nepochopil, ale jaký má smysl zavádět lineární formy, když vždy mohu v konečných prostorech nalézt ortonormální bázi, která je stejná jak ta k ní duální? Proč nejde vnější algebra vystavět na vektorech? Díky
Já si nejsem úplně jistý, jestli to, co tu řešíte je přesně to, co mám na mysli já - totiž kontravariantní a kovariantní vektory, ale přijde mi, že je to to samé.
No a - ono by to asi velký smysl nemělo, zavádět tyhle dva druhy vektorů, kdybychom počítali jen v euklidovských prostorech (s jednotkovou metrikou). Ale význam to získá v prostorech obecnějších.
Například když budeme používat jiné druhy souřadnic - třeba polární, sféricky atd... Potom už musíme rozlišovat, jestli je daný vektor kontravariantní nebo kovariantní - ony se jinak mění při změně souřadnic.
Pokud třeba máme parametrickou rovnici nějaké čáry (trajektorie) v prostoru, tj funkce , tak vektor rychlosti je kontravariantním vektorem.
Pokud naopak budeme mít vektor vytvořený jako gradient nějaké skalární funkce , tak je tento vektor kovariantní.
Pokud bychom třeba jen měnili měřítka os (osy r, u to moc nejde), bude se jeden z vektorů zvětšovat, a druhý zmenšovat.
Pokud už máme vektor jako 2 (3, 4, ...) čísla, tak už to nepoznáme, jestli je to kontravariantní nebo kovariantní. Musíme to vědět předtím, musíme vědět, jak jsme vektor vytvořili nebo definovali.
Další použití těchto věcí je samozřejmě v zakřivených, neeuklidovských prostorech (tenzory na varietě) - tam se křivočarým souřadnicím nevyhneme. A tento aparát využívá obecná teorie relativity.
Pravda je, když nad tím tak přemýším, že vlastně nevím, zdali je třeba intenzita elektrického pole E kontravariantní nebo kovariantní vektor. Nikdy jsem Maxwellovy rovnice v polárních souřadnicích neřešil...
Offline
Totiž - v kartézských souřadnicích se nemusíme příliš starat o to, že pro vektor potřebujeme bázi vektorového prostoru zatímco pro souřadnici bodu, ve kterém se ten vektor nachází, vlastně ani žádnou bázi nepotřebujeme.
Když máme osy X, Y, Z tak je považujeme za bázi všech vektorů, co se v tom prostoru nacházejí, a zároveň za "bázi" všech bodů, co tam jsou. Je to tak samozřejmé, že se nad tím skoro nikdo ani nezamyslí.
Jenže u křivočarých souřadnic musíme zavést bázi pro vektory tak, aby byla v každém bodě "tečná k souřadným osám", tj např. k u polárních souřadnic. Báze se tak bod od bodu mění ("zvětšuje", "otáčí", "svírá"), a to se nám samozřejmě projeví, pokud podle takovýchto souřadnic derivujeme.
A proto potřebujeme dva druhy vektorů - jedny které se chovají jako souřadnice, a druhé, které se chovají jako derivace podle těchto souřadnic.
Ale jinak - na tohle nejsem žádný odborník, tak to berte s rezervou...
Offline
Jestli tomu dobře rozumím (což v tomto případě vůbec nemusí být pravda)...
Byla tu zmínka o skalárním součinu. Skalární součin dvou vektorů musí vyjít stejný bez ohledu na to, v jakých souřadnicích vektory reprezentujeme. Skalární součin je skalár, jeho velikost závisí jen na poloze v prostoru. Je to jen číslo.
Pokud tedy máme dva vektory v kartézských souřadnicích, a ty samé vektory vyjádřené třeba v polárních souřadnicích, musí jejich skalární součin vyjít stejný. Proto můžeme dělat skalární součin "napřímo" jen mezi kontravariantním a kovariantním vektorem, a jinak do toho musíme vložit ještě metrický tenzor. Aspoň teda myslím, že to tak je.
Z čehož také plyne, že né každé číslo "umístěné do prostoru" musí být nutně skalárem. Například jedna ze souřadnic vektoru není sama skalárem.
Offline
↑ vanok:
Řekl bych, že je to .
Offline
Ahoj ↑ Roscelinius:,
Ano je to tak....ale transpozovane.
Spomienky na kovariantne vektory a kontravariantne mam z master (mecaniky) a iste ste to videli ako <| ...... |> ( to sa cita: bra.....ket). Myslim si ze sa to vidi aj v kvantovej fyzike.
V podstate ide o oznacenia...
Co sa tyka vseobecne takych problemov. Sluzia v matematike na suvisi medzi morfizmamy a ich transpozovanych. Ako aj väzby medzi podpriestormy a ich otrogonalnymi. Podobne aj medzi jadrami a obrazmi. .... tiez treba dobre vediet pouzivat dualitu. ( ako napr aj pojem diiferencialu realnej funkcie). Napada ma v rychlosti napr. ze pojem urciteho integralu, ci Lagrangeovych polynomov ... lin. formy.
Uzitocne je si prestudovat aspon odkazy co som napisal vyssie . A pochopitelne kazdy, co ma pouzivat taketo pojmy, by mal si prestudovat linearnu algèbru na dostatocnej urovni.
( poznamka: tu som hovoril len o konecnej dim. )
Offline