Matematické Fórum

Ahoj, mějme trasu v terénu, která začíná a končí ve stejné nadmořské výšce a zkoumejme, zda na této trase existují nějaké její části (které nejsou totožné s celou trasou), které rovněž začínají a končí ve stejné nadmořské výšce. Obecně (z věty o střední hodnotě) takové části existují, ovšem položme si obecnější otázku: Platí, že existuje d>0 takové, že pro libovolnou trasu délky x (x je předem pevně dáno) začínající a končící ve stejné nadmořské výšce existuje její část o délce d, která rovněž začíná a končí ve stejné nadmořské výšce (kde d<x)? (Samozřejmě tyto dvě výšky, a sice ta, ve které začíná a končí celá trasa (tu označme h1) a ta, ve které začíná a končí tato její část (tu označme h2), nemusí být stejné, tj. nemusí platit h1=h2.) Vzdálenost můžeme měřit jako skutečně uraženou vzdálenost a nebo pro větší jednoduchost (tak to také dělejme, nevyskytnou-li se nějaké dodatečné obtížě) tak, že budeme zkoumat délku kolmého průmětu trasy do podstavy, tedy při měřešní vzdálenosti (jindy ovšem ne) ignorujeme změny výšky na trase. (Tak např. na případu jedné větve sinusoidy je vidět, že musí být .)
Pokud takové d existuje, heldejme supremum množiny všech takových hodnot d.