Matematické Fórum

Pomeranc

Ahoj,

tentokrát řeším problém z ODR Odkaz . Maticovou exponenciála jsem zvyklá řešit přes vlastní čísla a vektory. Bohužel u první části mi chybí tam matice. Snažila jsem to dosadit do Taylorova polynomu, ale nějakou souvislost jsem tam nevypozorovala. Nevíte někdo prosím co s tím?

Stýv · 03. 01. 2021 21:03

Sčítal bych zvlášť sudé členy (tj. násobky I) a liché členy (tj. násobky A).

Pomeranc

↑ Stýv:

Ahoj,

$e^{tA}=I+\frac{At}{1!}-\frac{2It^{2}}{2!}-\frac{2At^{3}}{3!}+\frac{4It^{4}}{4!}$

Se sudými členy jsem si poradila. To mi vychází jako [mathjax]I*cos(\sqrt{2}*t)[/mathjax].
Ale u lichých členů mám problém s tou dvojkou, protože se mi nedaří zakomponovat do fce sinus.

laszky · 04. 01. 2021 17:09

↑ Pomeranc:

Ahoj, vytkni [mathjax]{\displaystyle \frac{A}{\sqrt{2}}}[/mathjax].

Pomeranc · 05. 01. 2021 00:35

↑ Stýv:,↑ laszky:

Děkuji, myslím, že to mám.

[mathjax]e^{tA}=I*cos(\sqrt{2}*t)+\frac{A}{\sqrt{2}}*sin(t)[/mathjax]

Stýv · 05. 01. 2021 00:55

Myslím, že v tom sinu má být také [mathjax]\sqrt2\cdot t[/mathjax].

Pomeranc · 05. 01. 2021 11:02

↑ Stýv:

Ano, máš pravdu :) . Děkuji.

vanok · 05. 01. 2021 14:57

Ahoj ↑ Pomeranc:,
Este mala poznamka tykajuca sa otazky (a).
V pripade ked A je nasobok jednodkovej matice $I_n$ vtedy aj $S_n=I+\frac{At}{1!}-\frac{2It^{2}}{2!}-\frac{2At^{3}}{3!}+\frac{4It^{4}}{4!}+....+ T_n$ trvych n+1 clenov suctu je tiez nasobkom jednodkovej matice.
Ak nie tak ( v tomto pripade ) $S_n$ je v ( maticovom) okruhu generovanom maticami $I_n$ a $A$ . ( $S_n$ sa da vyjadrit recurentne ako $a_nA+b_nI_n$ .
( toto moze pomoct k elegantnej redakcii riesenia).