Matematické Fórum

Grungy · 18. 06. 2009 18:12

Ahojte chcel by som vás poprosiť o pomoc druhýkrát, už nejakú dobu si lámem hlavu z nasedujúcim ale čas sa mi do pondelka kráti tak keby ste boli takí dobrí a pomohli mi ...

Daná je funkcia $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3Dsin^4(-8x)$
1. vypočítajte Fourierov rad na intervale $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3C\pi%2C-\pi%3E$
2. vypočítajte kosínusový Fourierov rad na intervale $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3C0%2C\pi%3E$
3. vypočítajte sínusový Fourierov rad na intervale $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3C0%2C\pi%3E$

Dosadiť do týchto vzorcov by som to ešte vedel
$http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi%20x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi%20x}{l}\right)$
$http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}a_0=\frac{1}{l}\int_{c}^{c+2l}f(x)\,\rm{d}x\\a_n=\frac{1}{l}\int_{c}^{c+2l}f(x)\cos\frac{n\pi%20x}{l}\,\rm{d}x\\b_n=\frac{1}{l}\int_{c}^{c+2l}f(x)\sin\frac{n\pi%20x}{l}\,\rm{d}x$

ale po prvé ma trápi ten interval v úlohe 2 a 3 kedže nejde o rozsah 2 pí a tiež ked to dosadím do vzorcov a chcem to počítať tak sa zastavím na takomto integrále
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int_{0}^{\pi}%20sin^4(-8x)%20cos(nx)$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int_{0}^{\pi}%20sin^4(-8x)%20sin(nx)$ a ten sa mi zatial upraviť nepodarilo takže keby mi s tým niekto vedel pomôcť tak by som mu bol vďačný

jelena · 18. 06. 2009 23:28 — Editoval jelena (12. 10. 2010 12:15)

↑ Grungy:

Zdravím,

to jsou takové náměty - doufám, že někdo z kolegů překontroluje, děkuji :-)

ale po prvé ma trápi ten interval v úlohe 2 a 3 kedže nejde o rozsah 2 pí

myslím, že se funkce může prodloužit (dodefinovat) - cosinový řad tak, aby na rozšířeném intervalu funkce byla sudá, sinový tak, aby funkce byla lichá - je to tak?

ked to dosadím do vzorcov a chcem to počítať tak sa zastavím na takomto integrále

Úprava výrazu $\sin^4(-8x)\cdot\cos (nx)$ by měla být provedena "přibližně" tak (neručím za znamenka a násobení 8*4 - je potřeba překontrolovat):

$\sin^4(-8x)\cdot\cos (nx)= \sin^4(8x)\cdot\cos (nx)=\frac 18(cos(4\cdot8x)-4\cos (2\cdot 8x)+3)\cdot\cos (nx)$ po otevření závorek dostaneme součet, jehož první člen upravím takto: (zbyvající členy podobně)

EDIT: přídáno pro kolegu napolitocala - k dotazu.

$\boxed{\cos (32x)\cdot\cos nx=\frac{\cos (32x+nx)+cos(32x-nx)}{2}=\frac{\cos (32x+nx)}{2}+\frac {\cos(32x-nx)}{2}=\nl=\frac{\cos (x(32+n))}{2}+\frac {\cos(x(32-n))}{2}}$

substituce $u=x(32+n)$ , $\rm{d}u=(32+n)\rm{d}x$ , podobne pro druhou zavorku.

To uz bz melo jit integrovat.

Použité vzorce:

Vzorce 4. mocniny sin wikipedie neposkytla, ale Rektorys ano (jinak by se to odvozovalo, ale to se mi moc nechce):

$\sin^4 \alpha=\frac18(\cos 4\alpha-4\cos2\alpha+3)$

vzorce pro součíny goniometrických funkcí(odvozeno od vzorců pro součty, rozdíly goniometrických funkci):

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left(\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)\right)\nl\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left(\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)\right)$

Zapis pro sinovy rad obdobně.

A co navrhuje wolfram? Nevim, nezkousela jsem.

Za případné nalezení chyb a kritiku děkuji.

Kondr · 19. 06. 2009 00:08

↑ jelena: Toto řekne wolfram.
A taky toto řekne wolfram.

K těm intervalům -- ten integrál může být přes libovolný takový interval I takový, aby byl systém funkcí, vzhedem k němuž rozvíjíme, byl ortogonální vzhledem k součinu $\langle f,g\rangle=\int_I f(x)g(x)dx$ . Proto na něm rozvíjíme pouze vzhledem k sinům a pouze vzhledem ke cosinům, protože třeba sin(x) a cos(3x) na něm ortogonální nejsou.

---
"Díky, a poslyš ... , řekni mi ...,"
CO BY SE STALO, KDYBYS HO NEZACHRÁNILA?
...
"Byla to dlouhá noc, dědečku! Jsem unavená a potřebuju se vykoupat! Co nepotřebuju je poslouchat nesmysly!"
SLUNCE BY NEVYŠLO.
"Opravdu? Tak mi řekni, co by se stalo?
SVĚT BY OZÁŘILA POUHOPOUHÁ KOULE ŽHAVÝCH PLYNŮ.

jelena · 19. 06. 2009 00:46 — Editoval jelena (21. 06. 2009 13:07)

↑ Kondr:

Z výsledku násobení 4*8 mám největší radost, že se shodujeme.

-----------

V některých tématech to tady vypadá... hm.

Да, это признак того, что грубый труд ему не нужен. У него работает ум...

EDIT: pro ↑ Grungy:, omlouvám se, pokud debata v tomto tématu působí ponekud neodborně, ale nesouvísí to v žadném případě s obsahem Tvého příspěvků.

Ta úprava, kterou jsem navrhla, je v pořádku, už jsem o tom také pohovořila s wolframem (jak odkazuje kolega Kondr). Ohledně intervalu od 0 do pi - nechám to ve znění kolegy Kondra.

Pokud potřebuješ ještě něco prokonzultovat, samozřejmě můžeš. Ještě jednou omluva. OK?

↑ Kondr:

Ze zápisek pro pamětí, co jednou napiší: Proto by mohla tato plodná diskuse pokračovat ještě poměrně dlouho. Nicméně... co kdybychom se radši soustředili třeba na nějaký nevyřešený problém?. My se pokusíme, ale neslibujeme, že se vyhnéme sem tam OT a zpěvům :-)

Grungy · 21. 06. 2009 15:47

Dakujem vám všetkým, nakoniec sa mi to podarilo nejako naštudovať a poupravovať takže už by to malo byť v poriadku. Ešte raz velká vďaka všetkým za ochotu pomôcť ...

Grungy · 22. 06. 2009 08:42

Tie prvé dve úlohy som vypočítal správne, ale ten tretí mi akosi nesúhlasí, tak by som vás chcel poprosiť či by ste mi nevedeli povedať čo tam treba zmeniť tak aby mi vyšiel aj ten sínusový Fourierov rad, predpokladám že tam pôjde asi o zmenu intervalu len som ešte neprišiel na to ako, tak keby bol niekto taký láskavý a usmernil ma ...

jelena · 22. 06. 2009 23:22

↑ Grungy:

Zdravím,

omlouvám se, že odpovídám tak pozdě - už je asi po termínu odevzdání. A ani nejsem si jistá, zda moje odpověď bude OK (teoretické základy mi výrazně chybí - oproti váženým kolegům).

Myslím, že ve výsledku sinové rady by měla byt 0 (máme sudou funkci, nemá obsahovat sin, první člen vychází 0, nějaké dodefinování úspěch nemělo), ale nechám se podrobit spravedlivé kritice, děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2009 18:12

ako spočítať Fourierov rad

#2 18. 06. 2009 23:28 — Editoval jelena (12. 10. 2010 12:15)

Re: ako spočítať Fourierov rad

#3 19. 06. 2009 00:08

Re: ako spočítať Fourierov rad

#4 19. 06. 2009 00:46 — Editoval jelena (21. 06. 2009 13:07)

Re: ako spočítať Fourierov rad

#5 21. 06. 2009 15:47

Re: ako spočítať Fourierov rad

#6 22. 06. 2009 08:42

Re: ako spočítať Fourierov rad

#7 22. 06. 2009 23:22

Re: ako spočítať Fourierov rad

Zápatí