Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím,
nějak se mi nedaří dokázat, že přirozená čísla v teorii množin (tj. prvky minimální induktivní množiny) splňují jeden z Peanových axiomů, a sice m+n'= (m+n)'.
Mohl by mě někdo nakopnout?
(Všechny ostatní axiomy mám).
Díky.
Offline
Ahoj, máš povolenou indukci?
Offline
↑ check_drummer:
Mám a zkoušel jsem. Ale nepodařilo se....
Offline
↑ Eratosthenes:
Je to dávno co jsem měl teorii množin, takže to asi skončí na nějaké banální formalitě, ale proč nejde použít indukční krok ve tvaru:
m+n'=m+(n+1)=(m+n)+1=(m+n)'
?
Ovšem využívám tam asociativitu sčítání.
Offline
↑ check_drummer:
Je to axiom Peanovy aritmetiky, tj. v Peanově aritmetice se nedokazuje. Aritmetika se zavádí zcela abstraktně - číslo je "něco" co
1) má nějakého následovníka
2) Je tam nějaké sčítání, které funguje takto: m+n'= (m+n)'
3) Je tam násobení....
Čili: sčítání se v PA definuje pomocí 2) a jeho asociativita se pak z těch axiomů dokazuje. Bez ohledu na to, zda něco takového někde existuje.
Jde teď o to sestrojit to "něco", co tak skutečně funguje. Takže se řekne:
Množina přirozených čísel je množina [mathjax]\omega [/mathjax], jejímž prvkem je [mathjax]\emptyset \in \omega[/mathjax] (má fungovat jako nula)
a pro každou množinu [mathjax]\alpha \in \omega [/mathjax] je [mathjax]\alpha \cup \{\alpha \} \in \omega[/mathjax] (to je následovník).
Součet [mathjax]\alpha + \beta [/mathjax] se definuje pomocí disjunktního sjednocení
[mathjax]\alpha ⨄ \beta = ( \{\emptyset \}\times\alpha ) \cup ( \{\{\emptyset \}\}\times\beta ) [/mathjax]
který se lexikograficky uspořádá a izomorfně zobrazí do [mathjax]\omega [/mathjax]. Tedy
[mathjax]\alpha + \beta = \gamma \Leftrightarrow \gamma ≅ \alpha ⨄ \beta [/mathjax]
≅ je ten izomorfizmus.
No a teď se má dokázat, že je to "správně", tj. že to realizuje Peanovu aritmetiku, tedy že platí
[mathjax] \alpha ⨄ ( \beta \cup \{\beta\} ) ≅ \alpha ⨄ \beta \cup \{\alpha ⨄ \beta\}[/mathjax]
alfa + násl(beta) = násl(alfa + beta)
Všechno mám, jenom tuto potvoru ne
:-(
Offline
Nie je [mathjax]\alpha ⨄ ( \beta \cup \{\beta\} ) =\alpha ⨄ \beta \cup \{\left(1,\beta\right)\}[/mathjax]? Teda v oboch množinách pribudne prvok. Teda majú rovnaký počet prvkov a sú konečné teda aj typy musia mať rovnaké. Alebo som niečo prehliadol?
Offline
↑ jarrro:
To je ono!!
Nepřehlédl jsi ty, přehlédl jsem já. Bůhíproč jsem si myslel, že množina [mathjax]\{ \{1\}\times \beta \}[/mathjax] má [mathjax]\beta[/mathjax] prvků a ona je zatím jednoprvková...
Díky a připisuji reputaci :-)
Offline
Stránky: 1