Matematické Fórum

mayko · 19. 06. 2009 14:07

Zdravim, potrebuji pomoct s tuto limitou:
(x-> -nekonecno,y-> +nekonecno) lim(x^17+y^17)/(x^5+y^5).

Vysledek bude +nekonecno, ale nevim jak to dokazat...potrebuji postup vypoctu.
Diky.

Marian · 19. 06. 2009 14:59 — Editoval Marian (19. 06. 2009 15:29)

↑ mayko:
Pro kladná čísla A, B, C, D platí nerovnost o mediánu čísel A/B a C/D, pro něž je $A/B\le C/D$ ,
$\frac{A}{B}\le\frac{A+C}{B+D}\le\frac{C}{D}.$
Počítáme dvojnou limitu (což především není dvojnásobná). Mezi čísly x>0 a y>0 může nastat jeden z těchto vztahů:
(1) $x\le y$ ,
(2) $y\le x$ .
Pro první případe položme $A=x^{17}$ , $B=x^5$ , $C=y^{17}$ a $D=y^5$ . Protože platí $x\le y$ , platí také $x^{12}\le y^{12}$ , což je totéž jako
$\frac{x^{17}}{x^5}\le\frac{y^{17}}{y^5}.$
Odtud podle nerovnosti o mediánu čísel A/B a C/D je také
$\boxed{x^{12}=\frac{x^{17}}{x^5}\le\frac{x^{17}+y^{17}}{x^5+y^5}}\le\frac{y^{17}}{y^5}=y^{12}.$
Především je důležitá levá část. Podobně se odvodí i nerovnost v druhém případě. Tedy nezávisle na tom, jestli nastává první nebo druhý případ, lze psát
$\min_{x,y>0}\,\left (x^{12},y^{12}\right )\le\frac{x^{17}+y^{17}}{x^5+y^5}.$
Odtud limitním přechodem
$\lim_{x,y\to\infty}\quad\min_{x,y>0}\,\left (x^{12},y^{12}\right)\le\quad\lim_{x,y\to\infty}\quad\frac{x^{17}+y^{17}}{x^5+y^5}.$
Ale limita vlevo je rovna +oo, tedy je
$\lim_{x,y\to\infty}\quad\frac{x^{17}+y^{17}}{x^5+y^5}=\infty .$

Kondr · 19. 06. 2009 20:12

↑ Marian:V zadání je, že $x\to -\infty$ , což problém poněkud komplikuje.

mayko · 19. 06. 2009 20:48

↑ Kondr:

Presne tak v zadani je limita x do minus nekonecna a y do plus nekonecna a to mi robi problem. Kazdopadne dekuji Marianovi za snahu.

Pavel Brožek · 19. 06. 2009 20:51

↑ mayko:

Pokud je dvojná limita definována tak, jak si myslím, tak : Pokud půjdu do nekonečen po křivce x=-2y, vyjde -nekonečno, když po křivce x=-y/2, vyjde +nekonečno, limita tedy neexistuje.

Pokud to není správně, pak bych rád viděl definici dvojné limity.

Kondr · 19. 06. 2009 21:08

↑ BrozekP:IMHO by oba ty výsledky měly být +nekonečno (jednou dělíme kladné/kladné, podruhé záporné/záporné)

Pavel · 19. 06. 2009 22:22

↑ mayko: Co tak pouzit transformaci do polarnich souradnic?

mayko · 20. 06. 2009 22:37

↑ Marian: vedel by si to spravit aj pre x iduce do minus nekonecna a y do plus nekonecna??

mbendi · 21. 06. 2009 12:43

mna napadlo taketo riesenie ale vobec som si s tym neni isty. zvolim si x=-y. potom tato limita nema riesenie v R. da sa to takto???

mayko · 21. 06. 2009 21:36

↑ mbendi: Prosim, ma niekto korektne riesenie tohto problemu...trocha to suri...potrebujem to do rana...budem velmi vdacny.

Marian · 21. 06. 2009 22:16

↑ mayko:
Podívám se na to během noci. Zatím mi připadá zcela zřejmé, že tato limita neexistuje. Zdůvodním to ještě definicí.

mayko · 21. 06. 2009 22:22

↑ Marian:Vysledok je plus nekonecno...tym som si isty...povodne som odovzdal s tym ze neexistuje a vratilo sa mi to s tym, ze limita existuje a je nekonecno! Velmi si cenim Tvoj cas straveny nad tymto zadanim.

Marian · 21. 06. 2009 22:35 — Editoval Marian (22. 06. 2009 00:21)

↑ mayko:
Měním názor, limita je sutečně +oo. Dělal bych to takto:

Limitu vhodně transformuji na tvar
$L:=\lim_{x\to +\infty \nl y\to -\infty}\frac{x^{17}+y^{17}}{x^5+y^5}=\qquad\lim_{(x,y)\to (0^+,0^+)}\qquad\frac{\frac{1}{x^17}-\frac{1}{y^{17}}}{\frac{1}{x^5}-\frac{1}{y^5}}=\qquad\lim_{(x,y)\to (0^+,0^+)}\qquad\frac{1}{x^{12}{y^{12}}}\cdot\frac{x^{17}-y^{17}}{x^5-y^5}.$
Nyní rozdělím situaci na dva případy. Buď bude x>y, pak je také
$\frac{x^{17}-y^{17}}{x^5-y^5}\ge \frac{x^{17}+y^{17}}{x^5+y^5}\ge y^{12}.$
Je-li naopak y>x, pak platí
$\frac{x^{17}-y^{17}}{x^5-y^5}=\frac{y^{17}-x^{17}}{y^5-x^5}\ge x^{12}.$
Proto
$L\ge\qquad\lim_{(x,y)\to (0^+,0^+)}\qquad\frac{1}{x^{12}y^{12}}\cdot\min_{x,y>0}\quad\left (x^{12},y^{12}\right )=\qquad\lim_{(x,y)\to (0^+,0^+)}\qquad\min_{x,y>0}\quad\left (\frac{1}{y^{12}},\frac{1}{x^{12}}\right )=+\infty .$

Problém s níže popisovanou přímkou y=-x (po mé transformaci y=x) není. Stačí uvážit Heineho tvar definice limity funkce více proměnných. V mé transformaci stačí zjistit, je-li bod [0,0] hromadným bodem posloupnosti {X_i}={[x_i,y_i]}, kde x_i, y_i-->0+, a to je pravda. Zjednodušeně řečeno, bereme body z D_f.

Snad jsem tam nenasekal chybu ...

Pavel Brožek

Díky Pavlově radě jde přepsat výraz jako

$\frac{r^{17}\cos^{17}\varphi+r^{17}\sin^{17}\varphi}{r^{5}\cos^{5}\varphi+r^{5}\sin^{5}\varphi}=r^{12}\frac{\cos^{17}\varphi+\sin^{17}\varphi}{\cos^{5}\varphi+\sin^{5}\varphi}$ ,

kde zlomek je kladný a odražený od nuly, takže ať už jdeme do nekonečna jakýmkoliv směrem, vyjde limita nekonečno. Jediný problém by mohl být s přímkou y=-x, kde funkce není definována, nevím jestli to nebude vadit definici dvojné limity.

Marian · 22. 06. 2009 00:20

↑ BrozekP:
Ten výraz "odražený od nuly" mi nesedí. Jak moc odražený od nuly? Chce to korektně dokázat, aby byl vyloučen případ (+oo)*0.

mayko · 22. 06. 2009 09:22

↑ Marian: Diky moc...preslo mi to, ale nechcel som do toho radsej rypat, takze neviem ci je to na 100% ono, ale funguje to...diky.

Marian · 22. 06. 2009 09:32

↑ mayko:
Co studuješ za školu, že tam dávají takové zajímavější úlohy?

Přesnou definici limity funkce více proměnných v nevlastním bodě jsem našel až v jedné sovětské učebnici z roku 1966 (Fichtěngolc, G.M. Kurs diferenicalnogo i intěgralnogo isčislenija I.). Zjistil jsem, že to není častým tématem ani některých kvalitních učebnic světových nakladatelství.

Pavel Brožek · 22. 06. 2009 09:55

↑ Marian:

Jmenovatel zlomku je omezený, takže celý zlomek může jít do nuly pouze v okolí $\varphi=\frac{3}{4}\pi$ a $\varphi=\frac{7}{4}\pi$ (na $(-\frac{\pi}{4},\frac34\pi)$ a $(\frac34\pi,\frac74\pi)$ je zlomek spojitá funce, která nabývá pouze kladných hodnot, protože čitatel je nenulový). Stačí tedy vyřešit limity $\varphi\to\frac34\pi$ a $\varphi\to\frac74\pi$ .

$\lim_{\varphi\to\frac34\pi}\frac{\cos^{17}\varphi+\sin^{17}\varphi}{\cos^{5}\varphi+\sin^{5}\varphi}=\lim_{\varphi\to\frac34\pi}\cos^{12}\varphi\cdot\frac{1+\frac{\sin^{17}\varphi}{\cos^{17}\varphi}}{1+\frac{\sin^{5}\varphi}{\cos^5\varphi}}=(-\frac1{\sqrt2})^{12}\lim_{\varphi\to\frac34\pi}\frac{1+\tan^{17}\varphi}{1+\tan^5\varphi}=\nl =\frac1{2^6}\lim_{\varphi\to\frac34\pi}\frac{17\cdot\tan^{16}\varphi\cdot\frac1{\cos^2\varphi}}{5\cdot\tan^4\varphi\cdot\frac1{\cos^2\varphi}}=\frac1{2^6}\cdot\frac{17}5=\frac{17}{320}$

Pro $\varphi\to\frac74\pi$ bude postup úplně stejný.

Pavel · 22. 06. 2009 10:38 — Editoval Pavel (22. 06. 2009 10:44)

↑ BrozekP:

Případ $\varphi\to\frac74\pi$ nemusíme ani uvažovat, protože pak $x>0$ a $y<0$ , což není náš případ. Jinak uvedné součty lze také rozložit pomocí vzorců:

$\cos^{17}x+\sin^{17}x=(\cos x+\sin x)(\cos^{16}-\cos^{15}\sin x+\cos^{14}\sin^2x+\dots+\cos^2x\sin^{14}x-\cos x\sin^{15}x+\sin^{16}x})\nl \cos^{5}x+\sin^{5}x=(\cos x+\sin x)(\cos^{4}-\cos^{3}\sin x+\cos^{2}\sin^2x-\cos x\sin^{3}x+\sin^{4}x})$

první dvě závorky pak pokrátit a dosadit $x=\frac34\pi$

mayko · 22. 06. 2009 21:05

↑ Marian:Zilinska univerzita, fakulta informatiky. Ono nam to urcite bolo spomenute, ale zial som to cez semester dost flakal, takze mam teraz co dohanat(a nie je toho malo).

mayko · 26. 06. 2009 10:40

↑ mayko:Dakujem vsetkym za napady,tu je vzorove riesenie pre tych co ich to zaujima:

Marian · 26. 06. 2009 20:39

↑ mayko:
Něco tak komplikované by mě asi nenapadlo.

Zdravím informatiky ze Žiliny ...

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2009 14:07

Limita s dvoma premennymi

#2 19. 06. 2009 14:59 — Editoval Marian (19. 06. 2009 15:29)

Re: Limita s dvoma premennymi

#3 19. 06. 2009 20:12

Re: Limita s dvoma premennymi

#4 19. 06. 2009 20:48

Re: Limita s dvoma premennymi

#5 19. 06. 2009 20:51

Re: Limita s dvoma premennymi

#6 19. 06. 2009 21:08

Re: Limita s dvoma premennymi

#7 19. 06. 2009 22:22

Re: Limita s dvoma premennymi

#8 20. 06. 2009 22:37

Re: Limita s dvoma premennymi

#9 21. 06. 2009 12:43

Re: Limita s dvoma premennymi

#10 21. 06. 2009 21:36

Re: Limita s dvoma premennymi

#11 21. 06. 2009 22:16

Re: Limita s dvoma premennymi

#12 21. 06. 2009 22:22

Re: Limita s dvoma premennymi

#13 21. 06. 2009 22:35 — Editoval Marian (22. 06. 2009 00:21)

Re: Limita s dvoma premennymi

#14 21. 06. 2009 23:42 — Editoval BrozekP (21. 06. 2009 23:42)

Re: Limita s dvoma premennymi

#15 22. 06. 2009 00:20

Re: Limita s dvoma premennymi

#16 22. 06. 2009 09:22

Re: Limita s dvoma premennymi

#17 22. 06. 2009 09:32

Re: Limita s dvoma premennymi

#18 22. 06. 2009 09:55

Re: Limita s dvoma premennymi

#19 22. 06. 2009 10:38 — Editoval Pavel (22. 06. 2009 10:44)

Re: Limita s dvoma premennymi

#20 22. 06. 2009 21:05

Re: Limita s dvoma premennymi

#21 26. 06. 2009 10:40

Re: Limita s dvoma premennymi

#22 26. 06. 2009 20:39

Re: Limita s dvoma premennymi

Zápatí