Matematické Fórum

simonaj1 · 05. 07. 2009 20:27

tak jo mám tu další prima věc...

${\lim}\limits_{x \to 0}\, {(e^{\frac{x^2}2}*cosx)^{\frac{4}{x^4}}}$

${\lim}\limits_{x \to 0}\, {(e^{x^2}*cosx)^{\frac{4}{x^4}}}$ prosím naznačení postupu, ne jen výsledek, díky (a prosím trochu polopatě, vždyť už mě znáte;-)

jarrro · 05. 07. 2009 22:21

${\lim}\limits_{x \to 0}\, {(e^{\frac{x^2}2}\cdot \cos{x})^{\frac{4}{x^4}}}=\lim_{x\to 0}{e^{\frac{2}{x^2}}\cdot \cos^{\frac{4}{x^4}}{x}}=\lim_{x\to 0}{e^{\ln{\left(e^{\frac{2}{x^2}}\cdot\cos^{\frac{4}{x^4}}{x}\right)}}=e^{\lim_{x\to 0}{\ln{\left(e^{\frac{2}{x^2}}\cdot\cos^{\frac{4}{x^4}}{x}\right)}}}=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{2}{x^2}+\frac{4\ln{\cos{x}}}{x^4}}}$
$\lim_{x\to 0}{\frac{2x^2+4\ln{\cos{x}}}{x^4}}=\lim_{x\to 0}{\frac{4x-4\mathrm{tg}{x}}{4x^3}}=\lim_{x\to 0}{\frac{4-\frac{4}{\cos^2{x}}}{12x^2}}=\lim_{x\to 0}{\frac{-\frac{8\sin{x}}{\cos^3{x}}}{24x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{-8\cos^4{x}+24\sin^2{x}\cos^2}{\cos^6{x}}}{24}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{-8}{\cos^2{x}}+\frac{24\sin^2{x}}{\cos^4{x}}}{24}}=-\frac{1}{3}$
$\text{pov. lim}=e^{-\frac{1}{3}}$

${\lim}\limits_{x \to 0}\, {(e^{x^2}\cdot \cos{x})^{\frac{4}{x^4}}}=\lim_{x\to 0}{e^{\frac{4}{x^2}}\cdot \cos^{\frac{4}{x^4}}{x}}=\lim_{x\to 0}{e^{\ln{\left(e^{\frac{4}{x^2}}\cdot\cos^{\frac{4}{x^4}}{x}\right)}}=e^{\lim_{x\to 0}{\ln{\left(e^{\frac{4}{x^2}}\cdot\cos^{\frac{4}{x^4}}{x}\right)}}}=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{4}{x^2}+\frac{4\ln{\cos{x}}}{x^4}}}$
$\lim_{x\to 0}{\frac{4x^2+4\ln{\cos{x}}}{x^4}}=\lim_{x\to 0}{\frac{8x-4\mathrm{tg}{x}}{4x^3}}=\lim_{x\to 0}{\frac{8-\frac{4}{\cos^2{x}}}{12x^2}}=\infty$
$\text{pov. lim}=e^{\infty}=\infty$

simonaj1 · 05. 07. 2009 23:07

↑ jarrro:
díky, ale neměl bys k tomu trochu vyšší teorie? přeci jen, netuším, jak se tam dosadil ten logaritmus a ty derivace z derivací mi také nějak unikají:-( učila jsem se dnes logaritmy z knížek pro SŠ, ale tohle jsem tam nenašla, vůbec třeba netuším jak jsi z tohohle
${e^{\lim_{x\to 0}{\ln{\left(e^{\frac{4}{x^2}}\cdot\cos^{\frac{4}{x^4}}{x}\right)}}}$ udělal tohle $e^{\lim_{x\to 0}{\frac{4}{x^2}+\frac{4\ln{\cos{x}}}{x^4}}}$
a u toho prvního příkladu... tady jsem se ztratila úplně...
$\lim_{x\to 0}{\frac{-\frac{8\sin{x}}{\cos^3{x}}}{24x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{-8\cos^4{x}+24\sin^2{x}\cos^2}{\cos^6{x}}}{24}$ jediné co vím je, žes o derivoval:-)

jarrro · 05. 07. 2009 23:23 — Editoval jarrro (05. 07. 2009 23:29)

už teraz je ten môj príspevok dlhý jak hovado písal som ho asi hodinu keby to mám celé vypisovať doteraz píšem k tým logaritmom $\ln{ab}=\ln{a}+\ln{b}\nl\ln{a^b}=b\ln{a}\nl\ln{e^a}=a$ a k tomu druhému dotazu si správne zistila,že ide o lhospitalovo pravidlo čitaťeľa som derivoval podľa pravidla
$\left(\frac{f}{\mathrm{g}}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}\mathrm{g}-f\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}^2}$

simonaj1 · 06. 07. 2009 08:44

↑ jarrro: já si tvého času nesmírně vážím, vím, že je v to v tom TeXu hrozně zdlouhavé... jen tedy ještě jedna věc k tomuto... ty píšeš že
$\lim_{x\to 0}{\frac{8-\frac{4}{\cos^2{x}}}{12x^2}}=\infty$ ale mě to po dosazení 0 za x nějak nevychází... ve jmenovateli pak přeci dostaneš $12*0^2$ což je 0 nebo jsi pak ještě dál derivoval a jen to tu není vidět?

jarrro · 06. 07. 2009 09:43 — Editoval jarrro (06. 07. 2009 09:52)

nie nederivoval som už ,lebo tá limita je typu $\frac{\text{kladne cislo}}{0}$ kde menovateľ v okolí nuly nemení znamienkopreto je limita nekonečno

simonaj1

↑ jarrro: díky moc, mohl bys mi prosím ještě pomoct s derivací ${cos^3x}$ ? někde tam asi dělám chybu... snažím se podle ${((f*g(x))\prime}={f\prime*g\prime}$ ale asi nekde delam chybu
v tomto ${\frac{-\frac{8\sin{x}}{\cos^3{x}}}{24x}}={\frac{\frac{-8\cos^4{x}+24\sin^2{x}\cos^2x}{\cos^6{x}}}{24}}=$ v tomto mi vychazi
${\frac{\frac{-8\cos^4{x}+16\sin^2{x}\cos^x}{\cos^6{x}}}{24}}=$
pokud vezmu ${\frac{8\sin{x}}{\cos^3{x}}}$ budu se k tomu chovat jako k ${(f/g)\prime}={\frac{(f)\prime*g-f*(g)\prime}{g^2}}$ fce(g) je pro me to $cos^3x$ to jsem derivovala podle ${(f*g)\prime}={(f)\prime*g+(g)\prime*f}$ jenze tohle $(f)\prime$ je pro me $cos^2x$ takze to jeste derivuji znovu podle ${(f*g)\prime}={(f)\prime*g+(g)\prime*f}$ a pak ty jednotlive derivace postupne poskladam do te puvdni?

jarrro · 06. 07. 2009 12:01 — Editoval jarrro (06. 07. 2009 12:06)

$\left(\cos^3{x}\right)^{\prime}=3\cos^2{x}\cdot \left(-\sin{x}\right)$
$\left(\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}\right)^{\prime}=\frac{\left(\sin{x}\right)^{\prime}\cdot\cos^3{x}-\sin{x}\cdot\left(\cos^3{x}\right)^{\prime}}{\left(\cos^3{x}\right)^2}=\frac{\cos{x}\cdot\cos^3{x}-\sin{x}\cdot3\cos^2{x}\cdot \left(-\sin{x}\right)}{\cos^6{x}}=\frac{\cos^4{x}+3\sin^2{x}\cdot\cos^2{x}}{\cos^6{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}}+3\cdot \frac{\sin^2{x}}{\cos^4{x}}$ v prvom príspevku mám chybu pred 24sin... má byť mínus,ale na hodnotu limity to nemá vplyv

Lishaak · 06. 07. 2009 16:10

Simco, muzu se drze zeptat jakou studujes skolu?

jelena · 06. 07. 2009 16:46

↑ Lishaak:

Vážený náš Moderatorče, zdravím srdečně :-)

tato otázka již byla Simoně položena a dokonce (z nepochopitelných důvodů) právě Tobě byla adresovana odpověď, a také pokud Simona má pořad toho stejného učitele, tak ten je zde již vystupoval v jednom tématu, kde jsme pozitivně konstatovali, že pan učitel má lehce netradiční zadání...

Abych nepřerušila debatu, tak to berte jen jako náhled do místních archivních materiálů a klidně v debatě pokračujte.

Ale já se teď drze zeptam našeho váženého Moderátora - není na čase v tématu "O nás :-)" oznámit alespoň telegraficky (tedy stručně), jakéhо pokroku se dosahlo ve vzdělání Moderátorů a jaké jsou další plány? Ať v tom mám dialekticky jasno.

-----------

"Все мы наивные материалисты, думал я. Мы хотим, чтобы все было немедленно объяснено рационалистически, то есть сведено к горсточке уже известных фактов. И ни у кого из нас ни на грош диалектики". А. и Б. Стругацкие "Понедельник начинается в субботу" -

OT 1: teď tuto knihu čtu, už ani nevím po kolikaté, moc se bavím a blahově doufám, že se mi podaří zároveň dopsat návrh řešení zde, už přes hodinu mám rozepsáno :-)

ОТ2 . za OT se omlouvám, ale nemohla jsem vynechat takovou historickou poznámku :-)

simonaj1 · 06. 07. 2009 17:19

↑ Lishaak:
UJEP FŽP Ústí nad Labem

Lishaak · 06. 07. 2009 17:32

↑ jelena:
Ahoj jeleno, take zdravim co nejsrdecneji, vidim, ze mas opravdu prehled co se tady na foru kde sustne, ja uz takovy prehled bohuzel nemam, takze se mi obcas stane, ze trestuhodne zapomenu prezdivku toho, komu jsem zde odpovedel pred ctyrmi mesici. Info o sobe rad podam v k tomu urcenem vlakne.

Simcu zdravim a preju uspechy na matematickem poli. Je to zvlastni, ale mam kamaradku, ktera studuje podobny ne-li rovnou stejny obor tady v Praze a taky maji na muj vkus hodne tezkou matiku. Zajimala by me (zcela vazne) nejaka aplikace principu vysokoskolske matemtiky v oboru zivotni prostredi. Umite nekdo neco takoveho?

simonaj1 · 06. 07. 2009 18:12

↑ Lishaak::-D musíš vydržet až se prokoušu těmi příklady až na konec, třeba tam najdu něco co by bylo aplikovatelné...zatím mi smysl také uniká... když jsem sháněla doučování na zimní semestr, měla jsem s tím hrozný problém, nikdo mi s tím tady nedokázal poradit a jedna Mgr. mi řekla, že s něčím podobným za ní přišla holčina co studovala jadernou fyziku... ale vím, že kluci z matfyz to mají taky v malíku ... takže tak hrozný a nevšední matika to zas asi není, ale do Prahy z Chomutova daleko... fakt je, že v tomto rozsahu je pro nás určitě zbytečná, aspoň zatím, tedy pro Bc. proč nevzít něco teď a pro pokračovatele na Ing. nebo Mgr. přidat další?... ale takhle je to u nás se školstvím celkově, tak proč by to mělo být na VŠ jiné...

kaja(z_hajovny) · 06. 07. 2009 19:15

Lishaak napsal(a):
Zajimala by me (zcela vazne) nejaka aplikace principu vysokoskolske matemtiky v oboru zivotni prostredi. Umite nekdo neco takoveho?

takove limity asi nejsou potreba, ale mozna matematicka biologie

kaja(z_hajovny) · 06. 07. 2009 19:18

simonaj1 napsal(a):
fakt je, že v tomto rozsahu je pro nás určitě zbytečná, aspoň zatím, tedy pro Bc. proč nevzít něco teď a pro pokračovatele na Ing. nebo Mgr. přidat další?... ale takhle je to u nás se školstvím celkově, tak proč by to mělo být na VŠ jiné...

Podobne problemy vidime i v Lazove a v Cernych Polich. Asi bude problem dvoustupnove skolstvi. ale to je dost off topic

Matematické Fórum

#1 05. 07. 2009 20:27

limita e

#2 05. 07. 2009 22:21

Re: limita e

#3 05. 07. 2009 23:07

Re: limita e

#4 05. 07. 2009 23:23 — Editoval jarrro (05. 07. 2009 23:29)

Re: limita e

#5 06. 07. 2009 08:44

Re: limita e

#6 06. 07. 2009 09:43 — Editoval jarrro (06. 07. 2009 09:52)

Re: limita e

#7 06. 07. 2009 10:56 — Editoval simonaj1 (06. 07. 2009 11:04)

Re: limita e

#8 06. 07. 2009 12:01 — Editoval jarrro (06. 07. 2009 12:06)

Re: limita e

#9 06. 07. 2009 16:10

Re: limita e

#10 06. 07. 2009 16:46

Re: limita e

#11 06. 07. 2009 17:19

Re: limita e

#12 06. 07. 2009 17:32

Re: limita e

#13 06. 07. 2009 18:12

Re: limita e

#14 06. 07. 2009 19:15

Re: limita e

Lishaak napsal(a):

#15 06. 07. 2009 19:18

Re: limita e

simonaj1 napsal(a):

Zápatí