Matematické Fórum

simonaj1

můžete mi někdo říct, jak nejrychleji rozložit výraz na závorky?

např. $(2x^3+3x^2+3x+1)$
nebo $(2x^3+4x^2+8x+6)$

je na to nějaký způsob? já to tam prostě nevidím:-( a nutně to potřebuji rozložit tak, abych z toho měla členy, které obsahují max.x^2, abch to mohla řešit jako kvadratickou rovnici při vyšetřování f-ce

jelena · 08. 07. 2009 20:54 — Editoval jelena (08. 07. 2009 21:20)

↑ simonaj1:

$(2x^3+3x^2+3x+1)=(x^3+3x^2+3x+1)+x^3=(x+1)^3+x^3$ dal dle vzorce a^3+b^3

EDIT: neměla bych to srdce neuvést metodu ze Zahrádek:

$(2x^3+4x^2+8x+6)=2(x^3+2x^2+4x+3)=2(x^3+1+2x^2+4x+2)=\nl=2(x^3+1+2(x^2+2x+1))$

jelena · 08. 07. 2009 20:58

2. výraz přehechávám kolegovi haloganovi, srdečně zdravím :-)

halogan

↑ simonaj1:

Pokud hledáš kořeny v oboru celých čísel, tak je dobré uvědomit si následující fakt:

Mějme následující výraz:

$(x - a) \cdot (x - b) \cdot (x - c).$

Po roznásobení z něj vznikne něco jako $x^3 - (a + b + c) x^2 + (ab + ac + bc) x - abc.$

Zde je klíčový ten absolutní člen. Pokud je jeho prvočíselný rozklad dostatečně jednoduchý, dají se kořeny jednoduše najít. Pak se celý polynom dělí výrazem $(x - x_0),$ kde $x_0$ je ten nalezený kořen. Dělení pak pochopitelně vychází beze zbytku.

Edit:

Abych taky mluvil trochu konkrétně, tak poradím s druhým příkladem. Zároveň zdravím ↑ jelena:.

Vytkneme dvojku a v závorce nám vznikne $x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ . Absolutní člen 3 je rozložitelný na 1*3, kořený (stále tu mluvím jen o celočíselných) připadají v úvahu $\pm 1$ a $\pm 3$ . Jednoduše najdeš ten první a můžeš dělit.

simonaj1 · 08. 07. 2009 21:56

↑ halogan:můžeš prosím naznačit trochu blíž, jak myslíš to "dělit"?

simonaj1 · 08. 07. 2009 22:05

↑ jelena: no ve finále by mělo vzniknout $(2x+2)(x^2+x+3)$ ale z toho tvého zápisu to tam pořád ne a ne vykoukat:-/

jelena · 08. 07. 2009 22:18

↑ simonaj1:

A ze zápisu kolegy ↑ halogan: jo a jo? :-)

$(2x^3+4x^2+8x+6)=2(x^3+2x^2+4x+3)=2(x^3+1^3+2x^2+4x+2)=\nl=2(x^3+1^3+2(x^2+2x+1))=2((x+1)(x^2-x+1)+2(x+1)^2)=\nl=2(x+1)(x^2-x+1+2x+2)$

už také jo?

halogan · 09. 07. 2009 09:39

↑ simonaj1:

http://www.aristoteles.cz/matematika/vy … lynomu.php
http://cs.wikipedia.org/wiki/Hornerovo_schéma

↑ jelena:

Pěkné, ale já v tom ty rozklady nikdy nenajdu :(

simonaj1 · 09. 07. 2009 09:45

↑ halogan:prosím, mohl bys trošku konkrétněji naznačit, jak to myslíš dělit výraz kořeny?

halogan · 09. 07. 2009 09:50

↑ simonaj1:

Ten výraz původně vypadal nějak takto: $(x - a) (x - b) (x - c)$ , kde a, b a c jsou kořeny (kdybys ten výraz položila roven nule, tak po dosazení a, b nebo c rovnice splní rovnost 0 = 0). Takže se snažím složit ten výraz zpět do podoby $(x - a) (x - b) (x - c)$ .

Když mám tedy $Ax^n + B x^{n -1} ... + G$ , tak hledám ty kořeny (a, b, c, ...) a potom dělím celý výraz výrazem $x - m$ , kde $m$ je ten nalezený kořen.

Je to jeden ze způsobů, pokud nenajdeš jiný způsob složení, který nastínila ↑ jelena:.

simonaj1 · 09. 07. 2009 10:04

↑ halogan:k těm odkazům co jsi mi sem dal, díky, ale nějak nejsem schopna to použít bez bližšího vysvětlení... zajímavě vypadá to Hornerovo schéma, ale vůbec netuším, jak do těch schémat dotlačit ten druhý řádek? a u dělení polynomu polynomem, vidím, že je tam odčítáno, ale stejně v tom nevidím ten výsledek:-(

Lishaak · 09. 07. 2009 12:54

V devadesati procentech prikladu na zkouskach, kde je treba rozkladat na soucin vice nez trojcleny, je korenem toho polynomu neco hrozne jednoducheho jako 1 nebo -1, aby se to dalo snadno uhodnout. Takze jeden koren proste vzdycky uhodnu. No a pak uz staci ten polynom vydelit vyrazem (x-a) kde 'a' je ten muj uhodnoty koren a mas dvojclen, ktery uz urcite na soucin rozlozit umis.

simonaj1

↑ Lishaak: budu ti asi připadat úplně mimo, ale mohl bys mi prosím pěkně ukázat co takové dělení udělá právě na již zmíněném $x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ ? asi to fakt potřebuji vidět, aby mi to docvaklo... moc se omlouvám za dlouhé vedení;-)

halogan · 09. 07. 2009 13:22

↑ simonaj1:

Vidíš, (i tak to zmínil ↑ Lishaak:), že kořeny se dají uhodnout - máš jen 4 možnosti (pokud beru jen celočíselné). Vidím, že -1 vyhovuje, mohu tedy dělit:

(x^3 + 2x^2 + 4x + 3):(x + 1) = ...

(x + 1), protože dělíme výrazem (x - a), kde "a" je kořen.

OT: Gratuluji ↑ Lishaak: k titulu.

Lishaak · 09. 07. 2009 13:25

podme na to
zkusme uhodnout koren, jdnicka to nebude, zkusme -1

(-1)^3 + 2(-1)^2 + 4(-1) + 3 = -1 + 2 - 4 + 3 = 0

Takze koren je -1 (to je ale nahoda :-)

Takze provedeme deleni:

(x^3 + 2x^2 + 4x + 3):(x+1) = x^2 + x + 3
-x^3 - x^2
----------------
x^2 + 4x + 3
-x^2 - x
------------
3x + 3
-3x - 3
--------
0

takze hned vidime, ze plati (x^3 + 2x^2 + 4x + 3) = (x^2 + x + 3)(x+1)

simonaj1 · 09. 07. 2009 20:10

↑ Lishaak:děkuji, takhle jsem to našla i jinde, ale pořád jsem nevěděla jak to dělení probíhá, naštěstí jsem našla odkaz, kde to bylo vysvětleno krok za krokem...http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/3/txc4da3h.htm, do té doby jsem totiž fakt netušila, kde berete to za tím rovná a kde se bere to co odečítáte:-) takže ještě jednou děkuji za snahu a trpělivost...

Matematické Fórum

#1 08. 07. 2009 20:47 — Editoval simonaj1 (08. 07. 2009 20:47)

rozklad výrazu

#2 08. 07. 2009 20:54 — Editoval jelena (08. 07. 2009 21:20)

Re: rozklad výrazu

#3 08. 07. 2009 20:58

Re: rozklad výrazu

#4 08. 07. 2009 21:03 — Editoval halogan (08. 07. 2009 21:06)

Re: rozklad výrazu

#5 08. 07. 2009 21:56

Re: rozklad výrazu

#6 08. 07. 2009 22:05

Re: rozklad výrazu

#7 08. 07. 2009 22:18

Re: rozklad výrazu

#8 09. 07. 2009 09:39

Re: rozklad výrazu

#9 09. 07. 2009 09:45

Re: rozklad výrazu

#10 09. 07. 2009 09:50

Re: rozklad výrazu

#11 09. 07. 2009 10:04

Re: rozklad výrazu

#12 09. 07. 2009 12:54

Re: rozklad výrazu

#13 09. 07. 2009 13:05 — Editoval simonaj1 (09. 07. 2009 13:05)

Re: rozklad výrazu

#14 09. 07. 2009 13:22

Re: rozklad výrazu

#15 09. 07. 2009 13:25

Re: rozklad výrazu

#16 09. 07. 2009 20:10

Re: rozklad výrazu

Zápatí