Matematické Fórum

Zdravím, mám následující zadanou úlohu:
Je známo, že funkce [mathjax]e_{1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}[/mathjax], [mathjax]e_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x)[/mathjax] jsou ortonormální na prostoru [mathjax]L_{2}(2\pi, 4\pi)[/mathjax]. Najděte kolmý průmět funkce [mathjax]f = 2x-2[/mathjax] do lineárního obalu funkcí [mathjax]e_{1}[/mathjax], [mathjax]e_{2}[/mathjax] na prostoru [mathjax]L_{2}[/mathjax] (nejlepší přiblížení funkce [mathjax]f[/mathjax] lineární kombinací funkcí [mathjax]e_{1}[/mathjax], [mathjax]e_{2}[/mathjax] na intervalu [mathjax]\left \langle 2\pi, 4\pi \right \rangle[/mathjax]).

Jak jsem postupoval:
Udělal jsem si integrály od [mathjax]2\pi[/mathjax] do [mathjax]4\pi[/mathjax] z funkcí [mathjax]e_{1}[/mathjax], [mathjax]e_{2}[/mathjax]. Ale rovnou jsem se zarazil, protože mi vyšla velmi velká čísla (oproti výsledkům, natož ještě s tím provádět skalární součin). Můžete mi s tím poradit, jak na to?

Ve výsledcích je: [mathjax]\hat{f} = -2+6\pi - 4sin(x)[/mathjax].