Matematické Fórum

Alesmatikar

Může mi někdo prosím vysvětlit princip tohoto:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=\int_{-2}^{0}(2x-1)^3dx%3D[\frac{(2x-1)^4%20}{4*2}]%20meze.%20od.%20-2.%20do.%200$

Rumburak · 19. 08. 2009 14:54

Zkus si ten integrál spočítat substitucí 2x - 1 = y .

lukaszh · 19. 08. 2009 14:56

↑ Alesmatikar:
Záleží od toho, čo myslíš pod princípom:

Možnosť 1: Neviem čo je určitý integrál.
Možnosť 2: Neviem čo je Newton-Lebnizov vzorec.
Možnosť 3: Nevyznám sa v označeniach.
Možnosť 4: Je tu.

Alesmatikar · 19. 08. 2009 15:33

Nevidím tam žádnou analogii na integraci typu:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int_{a}^{b}xdx%3D[\frac{x^2%20}{2}]$

ttopi · 19. 08. 2009 15:38

Jaktože ne.

Substituce: $2x-1=t\nl2dx=dt\nldx=\frac{dt}{2}$

Pak je tam $\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}t^3dt$ což pak vychází po zpětném dosazení substituce po integraci.

Alesmatikar · 19. 08. 2009 15:45

↑ ttopi: ↑ Rumburak:

Děkuji mockrát.

Rumburak · 19. 08. 2009 15:59

↑ ttopi: Myslím, že nemáš správně ty meze.

↑ Alesmatikar:
Budeme postupovat takto:
Nejprve spočítáme neurčitý integrál
$\int (2x-1)^3\text{d}x = \frac{1}{2}\int t^3 \text{d}t = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} t^4 +C =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} (2x-1)^4 +C$ (substituce viz ↑ ttopi: ).
Jednou z primitivních funkcí k integrované funkci je $F(x) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} (2x-1)^4$ , tu použijeme v Newton-Lebnizově vzorci a dostáváme
$\int_{-2}^{0} (2x-1)^3\text{d}x = \[F(x)\]_{-2}^{0} = \[\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} (2x-1)^4\]_{-2}^{0}$ .

ttopi · 19. 08. 2009 16:04

Jak se to veme. Nám bylo ve škole tolerováno a leckdy dokonce i razeno, ať meze nepřevádíme přes substituci, protože to na výpočet primitivní funkce nemá vliv. Pak je snažší dosadit zpět substituci a užit původní, nezměněné meze.

musixx · 19. 08. 2009 16:23 — Editoval musixx (19. 08. 2009 16:25)

↑ ttopi: Souhlasím s ↑ Rumburak:. Není to o tom, "jak se to vezme".

Buď si někde bokem spočti s tou substitucí neurčitý integrál, nebo možná by se dalo ještě tolerovat něco jako $\frac{1}{2}\int_{x=-2}^{x=0}t^3dt$ (to je můj momentální výplod - co na to analytik Rumburak?). Ale jen tak neprohnát meze substitucí se mi vůbec nelíbí, i když chápu tvůj přístup.

Rumburak · 19. 08. 2009 16:26

↑ ttopi:

Formálně správný zápis je
$\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)\text{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\text{d}t = \[F(t)\]_{g(a)}^{g(b)}=\[F(g(x))\]_{a}^{b}$ ,

Obecně $\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\text{d}t$ není totéž, co $\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t$ , podobně jako $\[F(t)\]_{g(a)}^{g(b)}$ není totéž, co $\[F(t)\]_{a}^{b}$ .
Ztotožňující "licence" bych proto já osobně nedoporučoval, protože mně připadají matoucí.

ttopi · 19. 08. 2009 16:27

↑ musixx:
O těhle věcěch se já nerad bavím. Je to z toho důvodu, že chyb podobného ražení se dopouštíme všichni, protože víme, že je to vědomě a jen pro zjednodušení. I tady na foru se takové věci v rámci jednoduchosti vyskytují. Souhlasit se dá s tím, že striktně vzato to špatně je, ale v našich podmínkách je to podle mě úplně normální. Nemám rád perfekcionismus tam, kde je zbytečný.

Jinak díky za reakci :-)

Rumburak

↑ musixx:
S takovouto licencí ovšem souhlasím :-).

kaja(z_hajovny)

$\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}t^3dt$ je -2 (newton-leibniz)

v kontextu naseho prikladu (meze plati pro x) je $\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}t^3dt$ rovno -78

Fíííha, ta stejná věc, ale vychází pokaždé jinak. Ona ta matika je asi opravdu hokej s pímenky. No nic to nikdy nepochopím a radši se to budu učit zpaměti a však ono to v te škole nějak dopadne.

----------

Hm, takto by mohl uvažovat nějaký žáček. Tak je škoda že Topiho učitelé to takto učí - dokonce to učí budoucí učitele matematiky.

Topi za to nemůže, já si konec konců občas dovolím i větší prasárny (ale jenom pokud počítám hodně narychlo, pro sebe, na kousek svačinového papírku, který potom okamžitě ničím). Ale je škoda, že na nějaké pajdě to doporučují jako správný postup.

ttopi · 19. 08. 2009 16:35

↑ kaja(z_hajovny):

Zdravím.

To je to o čem mluvím, každý z nás to dělá, pokud ví, že jde takzvaně o prd.

Možná jsem se nevyjádřil přesně. Nám nebylo řečeno "dělejte to takhle, třeba i u státnic". Tam bych si samozřejmě něco takového nedovolil. Bylo nám řečeno něco ve smyslu "U některých složitějších funkcí je po substituci lepší počítat jen primitivní funkci bez mezí a až následně po zpětném dosazení substituce meze využít".

Toto byl ale tak jednoduchý příklad, že jsem tomu převodu těch 10 vteřin věnovat mohl. Už se to pokusím neopakovat.

:-)

Rumburak

↑ ttopi:
Napadl mne další způsob, jak onen problematický zápis zkorektnit, a sice psát zde alespoň $\int_{-2}^{0}t^3\text{d}t(x)$ (místo ještě korektnějšího $\int_{-2}^{0}t^3(x)\text{d}t(x)$ ).

Itegrál bychom tedy vnímali ve Stieltjesově smyslu, kde se meze již z definice vztahují k proměnné x.

Matematické Fórum

#1 19. 08. 2009 14:25 — Editoval Alesmatikar (19. 08. 2009 14:26)

Může mi prosím někdo vysvětlit

#2 19. 08. 2009 14:54

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#3 19. 08. 2009 14:56

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#4 19. 08. 2009 15:33

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#5 19. 08. 2009 15:38

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#6 19. 08. 2009 15:45

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#7 19. 08. 2009 15:59

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#8 19. 08. 2009 16:04

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#9 19. 08. 2009 16:23 — Editoval musixx (19. 08. 2009 16:25)

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#10 19. 08. 2009 16:26

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#11 19. 08. 2009 16:27

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#12 19. 08. 2009 16:28 — Editoval Rumburak (19. 08. 2009 16:31)

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#13 19. 08. 2009 16:31 — Editoval kaja(z_hajovny) (19. 08. 2009 16:32)

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#14 19. 08. 2009 16:35

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

#15 21. 08. 2009 12:41 — Editoval Rumburak (21. 08. 2009 12:45)

Re: Může mi prosím někdo vysvětlit

Zápatí