Matematické Fórum

Alivendes · 05. 09. 2009 11:24

Zdravím,já mám hroznej problem spočítat,kolik je vzdycky tech moznosti abyh to mohl delit a kdyz se podivam do pustupu reseni jak to ma byt,tak mi to vubec nedava smysl,nemate na to nekdo nahododou nakou metodu?

LukasM · 05. 09. 2009 11:46

↑ Alivendes:
Zdravím. Tohle je ale strašně obecnej dotaz. Zkus hodit nějakej konkrétní příklad a ukaž jak to počítáš, nebo co se ti na tom prostě nezdá.

Alivendes · 05. 09. 2009 12:30

no uz treba to,ze na 2 kostkach je dohromady 36 moznosti mi moc nesedi :D

LukasM · 05. 09. 2009 12:37

↑ Alivendes:
Ok, dobře. Nějak to zkusím. Že na jedný kostce je 6 možností, to je asi jasný. Tak hodíme jen jednou kostkou, a ať padne třeba jednička. Teď hodíme druhou kostkou, a možností co na ní může padnout je šest. To znamená, že v případě, že na první kostce padla jednička, máme šest možností jak to celý dopadne.
No jo, ale ze stejného důvodu mám dalších šest možností pro případ, že na první kostce padne dvojka. Dalších šest pro trojku, a tak dále. Proto celkově je 6*6=36 možností.

Pokud tohle pochopíš, určitě je jasný co se stane když přidáš další kostku. Pro jedničku která na ní padne máme 36 možností jak dopadne hození těch prvních dvou. Pro dvojku zase, atd. Proto celkem je 6*36 možností.
Je to hodně polopatický, ale je to pravda.

Alivendes · 05. 09. 2009 12:47

no dobre dejme tomu ze todle bych jeste chapal..ale jko treba priklad v botniku je 24 paru bot,jaka je pravdepodobnost ze vytahnu tri boty na levou nohu ,vubec bych nevedel jak to vypocitat...

LukasM · 05. 09. 2009 12:57

↑ Alivendes:
Jaká je pravděpodobnost že při prvním tažení vytáhneš levou? Z celkem 48 bot je 24 levých, takže pravděpodobnost je 24/48=1/2 (samozřejmě).

Při tahání druhý boty je tam 47 bot a z toho 23 je levých. Pravděpodobnost, že vytáhnu levou je 23/47.

Pravděpodobnost že z toho zbytku vytáhnu zase levou je 22/46.

A protože se to má stát všechno po sobě, tyhle tři čísla vynásobím, podobně jako u těch kostek (musím napoprvé vytáhnout levou, abych mohl přemýšlet co vytáhnu napodruhé).

Alivendes · 05. 09. 2009 13:02

no a na netu to pocitali pres kombinacni cisla a vyslo jim 10 procent...

LukasM · 05. 09. 2009 15:20

↑ Alivendes:
Nějak nevím co bych na to měl napsat. Že něco někomu nějak vyšlo, to se komentovat nedá. Budeš muset třeba poslat odkaz, nebo já nevím, ale tohle nestačí.
Můžu říct jen tolik, že nevím proč by to moje mělo být špatně (i když samozřejmě chybu udělat můžu), a ještě že 10% je podezřele kulatej výsledek. To je tak všechno.

Alivendes · 05. 09. 2009 22:30

matematika polopate,pravdepodobnost,druhej nebo treti priklad...

halogan · 05. 09. 2009 22:40

Kolega ↑ LukasM: počítá s tím, že se tahá jedna po druhé. Zadání počítá s tím, že je vytáhneš všechny najednou.

Prostě se ty kombinační čísla nauč a hotovo. Jsem rád, když něco mohu vysvětlit, ale tady bude opravdu jednodušší to prostě akceptovat.

LukasM · 05. 09. 2009 23:17 — Editoval LukasM (05. 09. 2009 23:18)

↑ halogan:
Tak teď s tebou nesouhlasím :-)

Výsledek musí být stejný, ať už se na to dívám jako na trojí vytažení jedné boty, nebo vytažení celé trojice najednou. Tak jako tak skončím před botníkem s třema vytaženýma botama. Výpočet "přes kombinační čísla" jsem zkoušel taky, a vyšlo mi stejné číslo jako při postupném tahání. Proč to není 10%? Za prvé proto, že ↑ Alivendes: poslal jiné zadání (24 párů bot, v původním zadání je 12). I kdyby poslal správné zadání, nebude to deset procent, a to z toho prostého důvodu, že ten kdo řešil ten příklad nezodpovědně výsledek ZAOKROUHLIL a nikomu to neřekl. Výsledek nemá být 1/10, ale 220/2024, jak to má úpravu předtím (zkraťte si to jak kdo umíte). To poslední rovnítko není pravda.

Samozřejmě se dá říct: " $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ je počet všech různých k-tic, které se dají vybrat z n prvků, zapamatuj si to a nepřemýšlej o tom". To že jsem to nahoře neudělal a přistupoval k tomu jak k porodu mělo důvod. Pokud kolega pochopí ty základní principy kombinatoriky, tedy proč na třech kostkách je zrovna 6^3 možností výsledku atd., potom pochopí, PROČ to kombinační číslo říká zrovna to, co říká (na dotaz rád rozvedu). A to je snad důležitější než spočítat pár příkladů pomocí vzorce kterej spadnul z nebe. Když jsme to my dělali na střední, náhled pomocí selského rozumu na to měl málokdo, ale otázky jestli "tohle jsou ty permutace s opakováním nebo variace bez opakování?" měli všichni. Jakmile jim to někdo řekl, dosadili do vzorečku a bylo po ptákách, ale to podle mně není úplně správný přístup. Tohle je celkově podle mého důvod, proč je pro mnoho lidí matematika/fyzika na střední těžká - protože místo přemýšlení dosazují zběsile čísla do vzorečků, které jim někdo řekl a pořádně nevysvětlil.

halogan · 06. 09. 2009 09:08

Tak to se omlouvám (za víkend už podruhé, jde to se mnou z kopce). Vyčíslil jsem si tvé řešení a bylo odlišné od toho vzorového a toto byl jediný nápad.

Pravda, pravděpodobnost jsem se na maturitu neučil :)

LukasM · 10. 10. 2009 18:31

↑ LukasM:
Protože místní odbornice jelena, kterou tím to zdravím, pokládá můj výklad za hezký (děkuji), připíšu sem ještě ten polopatický výklad kombinačních čísel, což jsem původně slíbil na dotaz, který ale nakonec nepřišel.

Vezmu ten příklad výše s 24mi páry bot, abych řešil totéž co nahoře. Celkem je tedy v botníku 48 bot. Podle zadání taháme tři boty, chceme aby byly všechny levé. Kdybychom nějak určili počet všech různých trojic vytvořených pouze z levých bot, a pak počet všech různých trojic, které lze z botníku vytáhnout, šla by pravděpodobnost jednoduše vydělením těchto čísel.
Zaměřme se na počítání všech trojic, nezávisle na botách (P/L). Každého kdo pochopil tu kostku nahoře napadne, že když tedy tahá tři boty, pak celkový počet trojic musí být 48*47*46=103776, protože přece na první místo vybírá ze 48 bot, na druhé ze 47 a na třetí ze 46. Je to v zásadě pravda, ale některé trojice jsou takhle započteny vícekrát. Proč? Protože při tomto výpočtu logicky tzv. "záleží na pořadí", takže trojice ABC a trojice BAC se takhle započítají dvakrát, ačkoli obsahují stejné boty. Proč to tak je je snad celkem jasné.

Tohle číslo už je použitelné k výpočtu - pokud stejným způsobem vypočítáme počet všech trojic z levých bot (24*23*22) a vydělíme je, bude to fungovat. Učíme se ale kombinační čísla, takže řekněme že nám to takhle nestačí a že chceme počítat jen opravdu různé trojice.

Na místě je takováto úvaha. Kdybychom si všech těch 103776 možností roztřídili na hromádky tak, aby na každé hromádce byly jen ty možnosti obsahující stejné boty, pak by stačilo spočítat hromádky a máme to naše zlaté číslo. Pokud to máme udělat, bude potřeba zjistit, kolik prvků obsahuje každá hromádka (jsou samozřejmě všechny stejné). Potom bude stačit vydělit těch 103776 počtem prvků na hromádce a máme počet hromádek.
Jak zjistit kolik je prvků na jedné hromádce? Prvky se od sebe liší pořadím, obsahují ale stejné boty. Jde tedy o to zjistit, kolika různými způsoby lze mezi sebou přeházet tři boty. Protože kostky už umíme, víme taky to, že při řazení 3 bot do řady na první místo vybírám ze tří a na druhé ze dvou bot (na třetí dám co mi zbyde). Je to tedy 3*2*1=3! způsobů. To je počet prvků na hromádce.

Celkově tedy počet různých trojic které se dají vytáhnout z toho botníku bude: $\frac{48\cdot 47\cdot 46}{3!}$ což se dá rozšířit: $\frac{48\cdot 47\cdot 46}{3!}\cdot \frac{45!}{45!}=\frac{48!}{3!\cdot 45!}={48 \choose 3}$ . Tím jsme se dostali k tomu kouzelnému kombinačnímu číslu.

Počet trojic vytvořených pouze z levých bot bude tedy ${24 \choose 3}$ a když to vydělíme celkovým počtem různých trojic, dostaneme stejný výsledek jako někdy před měsícem při postupném tahání.

Proto tedy číslo ${n \choose k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$ udává počet různých k-tic vybraných z n prvků. $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ je počet všech k-tic (variace k prvků z n, komu se to líbí), $k!$ je počet permutací k prvků, čímž je potřeba to číslo vydělit, abychom se zbavili závislosti na pořadí. Dá se tedy psát něco jako $K(n,k)=\frac{V(n,k)}{P(k)}$ , nebo tak nějak jsme to myslím na střední značili. Není to žádná alchymie, jenom celkem jednoduchá aplikace selkého rozumu.