Matematické Fórum

Rados_ · 26. 10. 2009 17:00 — Editoval Rados_ (26. 10. 2009 17:06)

Ahoj... potřeboval bych poradit jak vyřešit tyto dva příklady aby mi konečně vyšly.. ať dělám co dělám pořád mi to nemůže vyjít podle výsledků.. :(

1. př
Dělník obsluhuje tři stroje, na kterých se vyrábí součástky stejného druhu. Pravděpodobnost vyrobení zmetku u prvního stroje je 0,02, u druhého 0,03 a u třetího 0,04. Vyrobené součástky se ukládají do jednoho skladu. Množství vyrobených výrobků je u prvního stroje třikrát větší než u druhého a u třetího je dvakrát menší než u druhého stroje. Určete pravděpodobnost, že vybraná součástka bude zmetek [výsledek: 0,0244]

2. př
Do opravny došly dvě zásilky stejných náhradních dílů (v jedné zásilce je 10 a ve druhé 12 kusů). V každé zásilce je jeden kus vadný. Opravář náhodně přemístil jeden náhradní díl z první zásilky do druhé a potom při opravě použil náhodně vzatý díl z druhé zásilky. Určete pravděpodobnost toho, že byl k opravě použit vadný náhradní díl. [výsledek: 0,0846]

Za každou radu bych byl moc rád. Předem díky.

lukaszh · 26. 10. 2009 17:27

↑ Rados_:
1) Udalosť $\mathbb{1}$ nech označuje výber výrobku, ktorý vyrobil prvý stroj, podobne $\mathbb{2}$ a $\mathbb{3}$ . Jav $Z$ nech označuje výber zmetku. Počítaš v podstate pravdepodobnosť, že
$P[(\mathbb{1}\cap Z)\cup(\mathbb{2}\cap Z)\cup(\mathbb{3}\cap Z)]$
Slovne to znamená asi toľko, že aká je pravdepodobnosť, že vyberieme zlý výrobok od prvého stroja ALEBO zlý výrobok od druhého stroja ALEBO zlý výrobok od tretieho stroja. Udalosti $\mathbb{1}\cap Z,\mathbb{2}\cap Z,\mathbb{3}\cap Z$ sú disjunktné, možno teda použiť pravidlo súčtu
$P[(\mathbb{1}\cap Z)\cup(\mathbb{2}\cap Z)\cup(\mathbb{3}\cap Z)]=P(\mathbb{1}\cap Z)+P(\mathbb{2}\cap Z)+P(\mathbb{3}\cap Z)=\cdots$
Prienik sa počíta podľa podmienenej pravdepodobnosti $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$ alebo ekvivalentne $P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)$ . Opäť si to možno rozpísať
$\cdots=P(\mathbb{1}|Z)\cdot P(Z)+P(\mathbb{2}|Z)\cdot P(Z)+P(\mathbb{3}|Z)\cdot P(Z)=\cdots$

Ten druhý neviem vypočítať. Ešte nad tým budem rozmýšľať, prípadne sa ozvú aj kolegovia.

lukaszh · 26. 10. 2009 17:31

↑ Rados_:
Už som prišiel aj na ten druhý :-) Môžu nastať dve situácie: Z prvej vyberiem zlý a z druhej zlý. Z prvej vyberiem dobrý a z druhej zlý. To sú tie čo potrebujeme.
$\frac{1}{10}\cdot\frac{2}{13}+\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{13}$

Rados_ · 26. 10. 2009 20:12

k tomu prvnímu příkladu mi nějak není jasné co přesně dát za Z?

lukaszh · 26. 10. 2009 20:15

↑ Rados_:
Ja som to poplietol. Malo byť
$\cdots=P(Z|\mathbb{1})\cdot P(\mathbb{1})+P(Z|\mathbb{2})\cdot P(\mathbb{2})+P(Z|\mathbb{3})\cdot P(\mathbb{3})=\cdots$

Rados_ · 26. 10. 2009 21:17

nějak mi pořád nedochází jak se domluvit s tím Z... stále mi to nevychází :/

jelena · 26. 10. 2009 21:34

↑ Rados_:

zdravím, zkus projit toto řešení, mám to tak nacvičeno, jinak neumím, myslím, že návrh od Lukáše je obdobný (ovšem v hezčí úpravě :-). Pomůže?

Ve tvém případě Z jsou procenta změtku pro každý stroj. Podíly jednotlivých strojů na výrobě máš vypočteno?

lukaszh

↑ Rados_:
Udalosť $Z|\mathbb{1}$ znamená, že vytiahneme zlý výrobok za predpokladu, že uvažujeme len výrobky prvého stroja. No a to je zo zadania 0,02.
Udalosť $Z|\mathbb{2}$ znamená, že vytiahneme zlý výrobok za predpokladu, že uvažujeme len výrobky druhého stroja. No a to je zo zadania 0,03.
Udalosť $Z|\mathbb{3}$ znamená, že vytiahneme zlý výrobok za predpokladu, že uvažujeme len výrobky tretieho stroja. No a to je zo zadania 0,04.

:-)

Udalosť $\mathbb{1}$ znamená, že vytiahnutý výrobok je vyrobený prvým strojom. Tu treba spraviť pár výpočtov. Výroba je v pomere 6:2:1. Pomerové čísla, dúfam, že si sa s tým stretol. Treba určiť pomery výroby jednotlivých strojov tak, aby v súčte dávali 1. Výrobu prvého stroja môžeme reprezentovať koeficientom $\frac{6}{6+2+1}$ podobne výrobu druhého $\frac{2}{6+2+1}$ a $\frac{1}{6+2+1}$ . V súčte dávajú 1. No a to sú aj príslušné pravdepodobnosti, že výrobok pochádza od daného stroja. Teda
$P(\mathbb{1})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
$P(\mathbb{2})=\frac{2}{9}$
$P(\mathbb{3})=\frac{1}{9}$

Teraz sa to všetko ponásobí ako som uviedol:
$\cdots=P(Z|\mathbb{1})\cdot P(\mathbb{1})+P(Z|\mathbb{2})\cdot P(\mathbb{2})+P(Z|\mathbb{3})\cdot P(\mathbb{3})=0.02\cdot\frac{2}{3}+0.03\cdot\frac{2}{9}+0.04\cdot\frac{1}{9}\approx0.02444$

↑ jelena:
Pozdrav :)