Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Střední příčka lichoběžníku je rovoběžná s oběma základnami. Její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen.
Druhou větu je třeba dokázat. Má se vycházet z podobnosti resp. shodnosti trojúhelníků.
Obr.:
Prosím, jak zapsat tento důkaz? ;-)
Offline
↑ Zemish:
postupoval bych takto:
(warning: možná moc složité)
1) vedl bych kolmici na základny bodem D. Tam, kde mi protne stranu a získám bod , tam, kde střední příčku, bod . O trojúhelnících a víme, že jsou shodné (shodují se například v pravém úhlu při bodě X (u X_m to vychází z rovnoběžnosti střední příčky a základny a) a v úhlu u bodu D (body A,M leží na jedné přímce, body X_a, X_m na jedné přímce) -> tyto trojúhelníky jsou podobné podle věty UU.
vezmeme si trojúhel. . Platí v něm, že . Obdobně to platí u trojúhelníka : .
Můžeme tedy využít rovnosti:
Dále o střední příčce víme, že leží na ose rovnoběžek, na nichž leží základny. Vzdálenost střední příčky od horní základny je tedy poloviční vůči vzdálenosti horní a dolní základny. Jelikož je přímka kolmá na základny, můžeme z předcházejícího odvodit: . po dosazení do výše získaného vztahu získáváme:
.
Totéž zopakujeme na druhé straně () a získáme:
a tedy i:
.
Mno a protože , jediné v čem se liší tyto 3 úsečky je vzdálenost bodu a X_{bodu}. Má tedy platit:
což jsme výše odvodili, že platí..
Offline
↑ Zemish:
1) trojúhelníky FAM a CDM jsou shodné - věta usu
2) bod M dělí DA na stejné části
3) trojúhelníky CFB a CMN jsou podobné - věta uu
4) poměr podobnosti CFB : CMN = 2 protože M půlí CF
5) MN je tedy polovina FB a jelikož FB je součet a+c, tak je to dokázáno
Offline
|DC| = |FA| (ze zadání)
|FAM| = |CDM| (střídavé úhly)
|FMA| = |CMD| (vrcholové úhly)
=> FAM = CMD (usu)
|DM| = |MA| (bod M je střed úsečky DA)
CFB - CMN (uu)
=> CFB / CMN = 2 (bod M je střed úsečky CF)
|MN| = |FB| / 2
|FB| = |FA| + |AB|
=> |MN| = (|FA| + |AB|) / 2 (=důkaz=)
OK?
Offline
Stránky: 1