Matematické Fórum

indoinek2 · 30. 12. 2009 10:48

Ahoj, mam problem... Potrebuju vypocitat tenhle priklad a vubec si s nim nevim rady.
Napiste rovnici primky, ktera prochazi pocatkem a je teckou kruznice o rovnici: xnadruhou+ynadruhou+12x-16y+80=0. Určete souřadnice dotykovych bodu. Prosim pomoc :(

jelena · 30. 12. 2009 12:58

↑ indoinek2:

Zdravím,

1) užití derivace implicitně zadané funkce pro rovnici tečny - viz teorie + řešený příklad 32 v odkazu.

2) tak se vytvoří rovnice přímky $(y-y_t)=k(x-x_t)$ , o které víme, že prochází bodem (0,0) a zároveň s kružnici má společný bod T souřadnice $(x_t, y_t)$ , je potřeba najit souřadnice $(x_t, y_t)$ dosazením do rovnice kružnice a řešením soustavy rovnic (rovnice přímky a rovnice kružnice).

Stačí tak na úvod?

indoinek2 · 30. 12. 2009 14:12

tenhle zacatek vim... ale ty rovnice mi pak delaj problem nevim co s nima... :(

jelena · 30. 12. 2009 14:17

↑ indoinek2:

napíš, prosím, co se podařilo.

rovnice kruznice $x^2+y^2+12x-16y+80=0$
rovnice kruznice po dosazeni souadnic bodu T $x_t^2+y_t^2+12x_t-16y_t+80=0$

Když klepneš na můj zápis, ten se přenese do tvé zprávy a pak pokračuji v zápisu dle místních možnosti TeX. Děkuji.

indoinek2 · 30. 12. 2009 14:27

Netusim jak to myslis... :D ja jsem na tohle trochu nemehlo...:D (myslim ten zapis)
ale dostala jsem se k vyjadreni y´=x+6/8-y a dal nevim co s tim... kdyz tam dosadim ty souradnice x_t a y_t tak tam mam hned 4 neznamy... :(

jelena · 30. 12. 2009 16:19 — Editoval jelena (30. 12. 2009 16:55)

↑ indoinek2:

Myslím, že když už máme takové vymoženosti, co se tyče psání a pohodlnějšího a srozumitelného čtení, tak se to má využívat. Třeba tento zápis je nejednoznačný y´=x+6/8-y a je nutné uzávorkovat (c).

----------
K řešenému problému - máme směrnici tečny: $y^{\prime}=\frac{x+6}{8-y}$ (1)

zároveň víme, že hledaná přímka prochází bodem (0, 0), proto může být zapsana jako $y=kx$ , dosadím do rovnice kružnice takto:
$x^2+(kx)^2+12x-16kx+80=0$ mám rovnici s parametrem, kterou upravím na tvar:
$(1+k^2)x^2+(12-16k)x+80=0$ , tato rovnice má mít pouze jeden dvojnásobný kořen (proč?), proto hledám takové k, pro které diskriminant bude nulový: $D=(12-16k)^2-4\cdot 80\cdot(1+k^2)=0$ , odsud najdeme 2 hodnoty k.

Souřadnice bodu T: Každou z hodnot dosadíme do zápisu pro derivace (1): například $k_1=\frac{x_t+6}{8-y_t}$ - tak by se vypočetla hodnota směrnice k_1, pokud bychom znali souřadnici bodu T, vyjádříme y_t a dosadíme do rovnice kružnice: $x_t^2+y_t^2+12x_t-16y_t+80=0$

-----
Trochu se mi to zdá překombinované - snad někdo z kolegů vznese spravedlivé námitky, děkuji :-)

EDIT - opraven vzorec pro D - dle upozornění kolegy Stýva, děkuji.

Stýv · 30. 12. 2009 16:47

technická: $D=(12-16k)^2-4\cdot 80\cdot (1+k^2)=0$
věcná: když známe k, stačí dopočítat tu rovnici $x^2+(kx)^2+12x-16kx+80=0$ a pak $y=kx$
když neznáme bod T, jsou derivace celkem k ničemu

jelena · 30. 12. 2009 16:54

↑ Stýv:

Zdravím a děkuji - "důsledek kopírování" opravím, "derivace" - proto se mi to zdalo překombinované.

Ovšem jiná cesta (aby se reagovalo na název tématu) ovšem nějak nenapadá, za případné nápady děkuji.

Chrpa · 31. 12. 2009 11:39 — Editoval Chrpa (31. 12. 2009 11:45)

↑ indoinek2:
Zde je obrázek

Počítáno použitím tohoto:
$x^2+(kx)^2+12x-16kx+80=0$ a tohoto: $y=kx$ a tohoto $(12-16k)^2-4\cdot 80\cdot (1+k^2)=0$
A dosazením za y do tohoto $x^2+y^2+12x-16y+80=0$ pro výpočet souřadnic dotykových bodů

indoinek2 · 31. 12. 2009 11:44

Dekuju vam vsem za pomoc :) vzdycky jsem resila jen pripady, kdy jsem souradnice bodu T znala... :) Diky moc :)

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2009 10:48

Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#2 30. 12. 2009 12:58

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#3 30. 12. 2009 14:12

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#4 30. 12. 2009 14:17

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#5 30. 12. 2009 14:27

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#6 30. 12. 2009 16:19 — Editoval jelena (30. 12. 2009 16:55)

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#7 30. 12. 2009 16:47

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#8 30. 12. 2009 16:54

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#9 31. 12. 2009 11:39 — Editoval Chrpa (31. 12. 2009 11:45)

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

#10 31. 12. 2009 11:44

Re: Rovnice tečny ke kružnici pomocí derivaci

Zápatí