Matematické Fórum

leník 5 · 31. 12. 2009 12:52

Prosím, můžete mně poradit? $\frac{\mid5x-10\mid}{3-x}<2$

1. interval $x>\frac43$

2. a 3. jsou stejné $x<2\frac27$ Nepočítala jsem se jmenovatelem, když není v absolutní hodnotě, asi je to špatně.

Nevím, proč ve výsledku je uveden ještě jeden výsledek kromě těchto dvou intervalů: $(3, \inft)$ Je to v nulových bodech, ale nevím proč. Děkuji Vám za vysvětlení.

Tychi · 31. 12. 2009 12:56

bod 3 je důležitý, v něm není funkce definovaná.

Jinak netuším, co myslíš 1., 2. a 3. intervalem, rozepiš se trochu víc.

Mathe · 31. 12. 2009 13:17 — Editoval Mathe (31. 12. 2009 13:56)

Řešil bych to pomocí nulových bodů. A ty jsou $2;3$
V intervalu od $(-\infty;2)$ je nerovnice záporná (menší než 2) v intervalu $(2;3)$ je funkce kladná a větší než 2, v intervalu $(3;\infty)$ je funkce opět záporná

Zkus si dosadit nějáké hodnoty z daných intervalů. Jinak hezky vysvětlené řešení nerovnic s abs. hodnotou najdeš zde. Při určování nulových bodů si musíš u tohoto příkladu dát pozor právě na zlomek, kdy nulou nelze dělit. proto ta 3 nemůže být.

LukasM · 31. 12. 2009 13:35

↑ Mathe:
To nechápu. Jednak nevím co znamená že rovnice je záporná, rovnice může být maximálně splněná nebo nesplněná (navíc tam žádná rovnice ani není). Pak nechápu co znamená, že pro $x\in(-\infty;2)$ je to záporné. Jako levá strana že je záporná? Když si dosadím za x nulu, tak je levá strana 10/3, což nejen že není záporné, ale dokonce je to větší než 2. Pochopil jsem něco špatně?

Osobně bych spíš dvojku převedl na levou stranu a diskutoval znaménka čitatele a jmenovatele. Ale s tím, že ta absolutní hodnota mi čitatel ještě rozštěpí na dva případy.

Mathe · 31. 12. 2009 13:56 — Editoval Mathe (31. 12. 2009 13:58)

↑ LukasM:
Řešil jsem to tak, že jsem si vzal teda tu 0 a dosadil ji do |5x-10| to pak vyjde -2 a tím pádem je levá strana nerovnice záporná.

Dále jsem si udělal jakoby čáru a na ní vyznačil nulové body. V intervalech, kde levá strana nabývá záporných hodnot jsem přepsal absolutní hodnotu s opačnými znaménky, tam kde kladné, tak jsem to nechal.

LukasM · 31. 12. 2009 14:00 — Editoval LukasM (31. 12. 2009 14:16)

Tak nevím, ale podle mně |5*0-10|=|-10|=10. Už z principu mi není jasný jak by absolutní hodnota čehokoli mohla být záporná.

Ještě k tomu novému odstavci co jsi připsal. O tom že v nějakých intervalech se dá absolutní hodnota vynechat, resp. napsat s opačnými znaménky nerozhoduje levá strana nerovnice, ale výraz uvnitř absolutní hodnoty. Takže je pravda, že se to dá rozebírat zvlášť pro případy x<2 a x>2, čímž se zbavíme absolutní hodnoty, a výsledné nerovnice řešíme zvlášť, a přitom začneme samozřejmě převedením 2ky na levou strany, jinak nám znaménka nedají odpověď. To je vlastně to co jsem navrhoval já, jsou tam jen přehozené dva kroky.

Pro autorku - dostaneš se už dál?

leník 5 · 31. 12. 2009 14:58

↑ LukasM: Nedostanu, protože pořád nevím, proč je ve výsledku $(3,\infty)$ Děkuji za starost.

LukasM · 01. 01. 2010 20:24

↑ leník 5:
Jaktože ne? Zkus to řešení jak jsem říkal, tj. nejdřív předpokládej že x>2 (tím pádem výraz v abs. hodnotě nalevo je kladný, a máme tím pádem právo tu absolutní hodnotu vynechat). Tím dostaneš nerovnici už bez abs. hodnoty, kterou vyřešíš pomocí těch tzv. nulových bodů (po převedení dvojky na levou stranu) - ve jmenovateli bude přitom pořád 3-x, takže ta trojka tam opravdu bude hrát roli nějakého hraničního bodu. Pak zbývá diskutovat znaménka čitatele a jmenovatele a vybrat ty intervaly které chceme.

Potom je potřeba předpokládat x<2 a udělat to znova (s opačným znaménkem u toho výrazu v abs. hodnotě) a dostat z toho i zbytek řešení.

Kdyžtak napiš svůj postup a podíváme se na to.

leník 5 · 01. 01. 2010 21:06

můj postup: $-\infty;2$ $2;3$ $3;\infty$ to jsou nulové body v hlavičce tabulky

$-$ $+$ $+$
$5x-10$
${\mid5x-10\mid}$ $-5x+10$ $5x-10$ $5x-10$

Výsledek intervalů mám napsán v začátku úlohy.

zdenek1

↑ leník 5:
Nerovnici si převedeš do tvaru
$\frac{|5x-10|}{3-x}-2<0\ \Rightarrow\ \frac{|5x-10|-6+2x}{3-x}<0$
Nyní najdeš nulové body v čitateli a jmenovateli.
jmenovatel $x=3$
čitetel $|5x-10|-6+2x=0$ dává $x=2\frac27$ a $x=\frac43$
Nyní si uděláš tabulku a doplníš znaménka

máme řešení $x\in\left(\frac43;2\frac27\right)\cup(3;\infty)$

Edit: je jasné kde máš chybu - hledáš nulové body špatného výrazu.