Matematické Fórum

Norbiboom · 03. 02. 2010 22:10

Dobry vecer,
chcel by som vas poprosit o radu s nasledujucou limitou: $\lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{3}}}\frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{1-2\cos(x)}$ .
L'Hospitalovo pravidlo pouzit nemozem. Pokusal som sa zaviest substituciu $y=x-\frac{\pi}{3}$ ako aj ine postupy, ale nepodarilo sa mi dopracovat k spravnemu rieseniu: $\frac{1}{sqrt(3)}$ [Wolfram riesenie]
Chcel by som vas poprosit o radu pri rieseni, alebo neaky postup. Dakujem.

FailED · 03. 02. 2010 22:27 — Editoval FailED (03. 02. 2010 22:37)

$\lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{3}}}\frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{1-2\cos(x)}$

Substituce $x-\frac{\pi}{3}=y$ , $x=y+\frac{\pi}{3}$
$\lim_{y\rightarrow 0}\quad\frac{\sin y}{1-2\cos(y+\frac{\pi}{3})}= \lim_{y\rightarrow 0}\quad\frac{\sin(y)}{1-2 \(\cos{\frac{\pi}{3}}\cdot \cos y -\sin{\frac{\pi}{3}}\cdot \sin{y})}= \nl =\lim_{y\rightarrow 0}\quad\frac{\sin y}{1- \cos y + \sqrt3 \cdot \sin{y}}= \lim_{y\to 0}\quad\frac{1}{\sqrt{3} +\frac{1-\cos y}{\sin y}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\lim_{y\to 0}\quad\frac{1-\cos y}{\sin y}=0$ Když si to nakreslíš, je to vidět.

Olin · 03. 02. 2010 22:40

$\lim_{y\to 0}\quad\frac{1-\cos y}{\sin y}=0$
Tak to plyne z toho, že čitatel se "chová jako" $y^2$ , zatímco jmenovatel jenom jako y. Vhodné rozšíření rozhodne.

Norbiboom

↑ FailED:: Dakujem pekne za postup, zle som vynal $\sin y$

↑ Olin:: Dakujem za vysvetlenie.

Este by som vas chcel poprosit o pomoc s jednou limitou. L'Hospitalovo pravidlo opat nie je povolene.
$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\cos^n$\frac{x}{sqrt(n)}$$ pricom $x \in \mathbb{R}$
Najprv som sa to snazil riesit len jednoduchym "dosadenim", ale bolo mi vytknute, ze $n^\infty \neq 1$ pricom $n$ sa blizi k $1$ .
Tak som si to skusil napisat nasledovne:
$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\cos^n$\frac{x}{sqrt(n)}$ = \lim_{n\rightarrow{\infty}}$1+\(\cos^n\(\frac{x}{sqrt(n)}$-1\)\) = \lim_{n\rightarrow{\infty}}e^{\cos^n$\frac{x}{sqrt(n)}$-1}$
Mozem prehlasit, ze:
$\lim_{n\rightarrow{\infty}}e^{\cos^n$\frac{x}{sqrt(n)}$-1} = e^0 = 1$ ? Ci je to rovnako nespravne ako rovno napisat $\lim_{n\rightarrow{\infty}}\cos^n$\frac{x}{sqrt(n)}$ = 1$ ?
Dakujem.

EDIT - Skusal som vo Wolframe vypocitat tuto limitu pre rozne $x$ a zda sa, ze vysledok by mal byt
$e^{(-\frac{x^2}{2})}$ ale k vysledku sa neviem dopracovat.

Norbiboom · 04. 02. 2010 07:59

A este na jednu otazku by som vas poprosil odpoved.
$\lim_{x\rightarrow0}$\frac{sqrt{1-\cos{x}}}{{1-\cos sqrt{x}}}$$
Mne vysiel vysledok, ze limita sa blizi k $0$ , pritom Wolfram ukazuje, ze limita v tomto bode neexistuje [odkaz]
Nechapem, ako dospeli k tomu, ze ziskali zaporne cislo v citateli, alebo menovateli, nie je tam akasi chyba? Dakujem.

halogan · 04. 02. 2010 13:56

↑ Norbiboom:

V reálné analýze nemáš druhou odmocninu definovanou pro záporná čísla, takže můžeš říct, že zleva funkce není definovaná, takže ani limitu nemá. Nemá tam být 0+?

↑ Norbiboom:

Využij toho, že $\lim_{n \to \infty} \frac{A}{n} = 0$ pro libovolné reálné A.

Problém je ten, že abys mohla použít $a^b = e^{b \log a}$ , musíš mít zaručeno, že a > 0. Musíš si tedy napřed pojistit, že ten kosínus bude kladný a pak až to takhle převést. Jelikož argument kosínu jde k nule, tak najdi n_0, od kterého dál bude argument náležet prstencovému okolí nuly s poloměrem pi/2.

Potom přes limitu:

$\lim_{y \to 1} \frac{\log y}{y - 1}$ , složenou funkci a Heineho větu (pro "převod" posloupnosti na funkci) to dopočítáš i z hlavy.

Norbiboom

↑ halogan:
Pri tej limite bolo v zadani v skutku $x$ iduce k $0$ . Zrejme sa jedna o chybu. Ved presne preto som sa cudoval, ze wolfram vyhodil aj zaporny vysledok. Dakujem za odpoved.

A co sa tyka druhej limity, tak dakujem za navod. Posnazim sa to tym postupom vypocitat.

Norbiboom

Dneska som uspesne absolvoval skusku. Dakujem vsetkym, ktory mi pri tom pomohli. Malo ludi, kt. su skuseni vo svojej profesii ma naladu pomahat zaciatocnikom. Dakujem.

A este dodam riesenie limity, na kt. som sa pytal:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\cos^n(\frac{x}{sqrt{n}}) = \lim_{n\rightarrow\infty}e^{n\log$\cos(\frac{x}{sqrt{n}})$} = \lim_{n\rightarrow\infty}e^{\frac{n\log$\cos(\frac{x}{sqrt{n}})$$\cos(\frac{x}{sqrt{n}})-1$}{$\cos\(\frac{x}{sqrt{n}})-1$}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n$\cos(\frac{x}{sqrt{n}})-1$} = \lim_{n\rightarrow\infty}e^{-n$1-\cos(\frac{x}{sqrt{n}})$} = \lim_{n\rightarrow\infty}e^{\frac{-n$1-cos(\frac{x}{sqrt{n}})$$\frac{x}{sqrt{n}}$^2}{$\frac{x}{sqrt{n}}$^2}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}e^{-\frac{nx^2}{n2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}$

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2010 22:10

Limita - Mat. Analyza 1

#2 03. 02. 2010 22:27 — Editoval FailED (03. 02. 2010 22:37)

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#3 03. 02. 2010 22:40

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#4 04. 02. 2010 06:35 — Editoval Norbiboom (04. 02. 2010 07:25)

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#5 04. 02. 2010 07:59

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#6 04. 02. 2010 13:56

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#7 04. 02. 2010 14:47 — Editoval Norbiboom (04. 02. 2010 15:12)

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#8 05. 02. 2010 11:20 — Editoval Norbiboom (05. 02. 2010 11:24)

Re: Limita - Mat. Analyza 1

Zápatí