Matematické Fórum

check_drummer · 11. 02. 2010 20:11

Ahoj,
můj dotaz má dvě části:

1a) Je možné pro axiomatickou teorii množin ZF dokázat, že axiom výběru nezávisí na ostatních axiomech? Pokud ano, jak vypadá myšlenka tohoto důkazu?
2a) Je možné pro axiomatickou teorii množin ZF dokázat, že po přidání axiomu výběru bude tato teorie bezesporná?

Obecně:
2a) Existuje nějaký postup (postupy) jak dokázat, že nějaký axiom(výrok) není dokazatelný z ostatních axiomů (byť by byl aplikovatelný jen na nějaké speciální případy axiomů)?
3a) Existuje nějaký postup jak dokázat, že daná teorie je bezesporná? Druhá Godelova věta o neúplnosti říká, že bezespornost aritmetiky nelze v ní samé dokázat, ale je možné dokázat bezespornost jinak - na nějaké "metaúrovni"? (Napadá mě, že jedna cesta by mohla být najít model pro tuto teorii - pak víme, že je bezesporná.)

Díky

check_drummer · 11. 02. 2010 20:14

↑ check_drummer:

Teď mě napadlo, že se asi jedná jen o jednu otázku, protože nezávislost axiomu A na ostatních axiomech T lze převést na důkaz bezespornosti T sjednocené s negací A, že?

Wotton · 12. 02. 2010 09:52

↑ check_drummer:
1) Obojí lze dokázat za předpokladu bezespornosti ZF (doporučuji Teorie množin od Balcar, Štěpánek)

2) Univerzální postup je takovýhle: Necht A je axiom u kterého chceme dokázat nezávislost. Tak si vezmem původní teorii bez axiomu A a přidáme k ní negaci axiomu A. Pokud je tato teorie bezesporná, tak je axiom A nezávislý. (i když teď koukám, že to už sis řek sám :-))

3) Bezespornost se dá dokázat asi jen dvěma způsoby. První píšeš (najít model), ale ten je často problematický, protože dokázat o něčem že je model není vždy zcela triviální (u teorií složitosti ZF je to možná zcela nemožné). Druhý způsob je dokázat danou teorii v jiné teorii. Pak je první teorie bezesporná za předpokladu bezespornosti teorie druhé. Tím se nám ale otázka posune jen o kosek dál.

check_drummer · 13. 02. 2010 13:22

Abych řekl pravdu, snažil jsem se dlouho sehnat Teoriii množin (Balcar, Štěpánek), ale není nikde k dispozici. Existuje nějaká šance ji někde získat?

Wotton · 13. 02. 2010 13:33

Nojo, koukám že je všude vyprodaná, ještě že mám své staré vydání:-)
Možná bych zkusil knihovnu MU AV (Žitná 25) tam mívají občas něco i na prodej, nebo nějaký antík. Jinak asi jen půjčit.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2010 20:11

Důkaz nezávislosti axiomů a bezespornosti teorie

#2 11. 02. 2010 20:14

Re: Důkaz nezávislosti axiomů a bezespornosti teorie

#3 12. 02. 2010 09:52

Re: Důkaz nezávislosti axiomů a bezespornosti teorie

#4 13. 02. 2010 13:22

Re: Důkaz nezávislosti axiomů a bezespornosti teorie

#5 13. 02. 2010 13:33

Re: Důkaz nezávislosti axiomů a bezespornosti teorie

Zápatí