Matematické Fórum

simonaj1 · 15. 07. 2009 18:22

mám tady jeden příklad, u kterého mám napsáno, že výsledek bude nula, protože limita 2 fcí z nichž jedna je ohraničena a druhá jde k 0 je 0... mám u toho také, že ta ohraničená je sin pi/x a ta jdoucí k nule je x^-2, ale vůbec tomu nerozumím
${\lim}\limits_{x \to \0}{{\sqrt{x}}{sin{\frac{\pi}{x}}}}$ je mi jasné, že pro ${\sqrt{x}}$ mohu dosadit jen kladná čísla a že to tudíš bude fce s D(f) $(0,\infty)$ , ale čím a jak je ohraničená ta fce sin

zkoušela jsem to řešit přes výpočet lim a ta nula mi skutečně vychází
${\lim}\limits_{x \to \0}{{\sqrt{x}}{sin{\frac{\pi}{x}}}}={\lim}\limits_{x \to \0}({\sqrt{x}).({\frac{\pi}{x}}).({\frac{sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}})}={\lim}\limits_{x \to \0}{{\pi}.{x^{-\frac12}}.{1}}=0$ no, snad jsem to vše správně poupravila, bohužel stále mi není jasná ta věta ze začátku

Marian · 15. 07. 2009 18:34 — Editoval Marian (15. 07. 2009 19:05)

↑ simonaj1:
Jedna z možností je tato:
Platí z omezenosti funkce sinus nerovnost $-1\le sin x\le 1$ pro všechna reálná čísla "x". Ale pro x různo od nuly je také číslo Pi/x reálné a tudíž odhad bude platit také po "výměně" x za Pi/x. Tedy pro nenulové "x" je také $-1\le\sin\left (\frac{\pi}{x}\right )\le 1$ . Odtud platí pro x větší než nula (nalevo od nuly nemohu pracovat kvůli druhé odmocnině v zadání):
$\sqrt{x}\cdot (-1)\le\sqrt{x}\cdot\sin\left (\frac{\pi}{x}\right )\le \sqrt{x}\cdot 1\nl -\sqrt{x}\le\sqrt{x}\cdot\sin\left (\frac{\pi}{x}\right )\le\sqrt{x}\nl -\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\le\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\cdot\sin\left (\frac{\pi}{x}\right )\le\lim_{x\to 0}\sqrt{x}.$
Ale krajní limity se v odhadu původní limity rovnají nule. Tedy je
$\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\cdot\sin\left (\frac{\pi}{x}\right )=0$ .

jarrro · 15. 07. 2009 19:06

↑ simonaj1:ja ešte doplním,že je nie dobrý ten záver výsledok je dobrý,ale zápis by mal byť skôr takto ${\lim}\limits_{x \to \0}{{\sqrt{x}}{sin{\frac{\pi}{x}}}}={\lim}\limits_{x \to \0}({\sqrt{x}).({\frac{\pi}{x}}).({\frac{sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}})}={\lim}\limits_{x \to \0}{{\pi}.{x^{-\frac12}}}\cdot 0=0$ viem,že je to len o jednom čísle,ale aby nevznikol dojem,že $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}}=1$ lebo to nie je pravda pravda je $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}}=0$

simonaj1

↑ jarrro:tak teď jsi mě dokonale zmátl... jak to, že $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}}=0$ myslela jsem si, že je to právě $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}}=1$

kaja(z_hajovny) · 15. 07. 2009 19:36

ne, ale treba $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{x}{\pi}}}{\frac{x}{\pi}}}=1$
vnimejte ten rozdil

btw: taky mate takovou tmu jak v Brne-Lazove? Dneska se certi zeni :)

jarrro · 15. 07. 2009 19:38 — Editoval jarrro (15. 07. 2009 19:39)

nie. Je to nula. Je síce pravda,že $\lim_{\text{nieco}\to 0}{\frac{\sin{\text{nieco}}}{\text{nieco}}}=1$ ,ale v predchádzajúcom prípade nejde nieco k nule ,ale k nekonečnu sprava a -nekonečnu zľava,ale vzhľadom na nepárnosť (lichosť) fcie sínus sa $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}}$ dá transformovať na $\lim_{\text{nieco}\to \infty }{\frac{\sin{\text{nieco}}}{\text{nieco}}}=0$

Ginco · 15. 07. 2009 19:50 — Editoval Ginco (15. 07. 2009 19:51)

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{\pi}{x}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\pi}{x}}$

Jinak jak psal Jarrro, tak zkus využít limitu složené fce(pokud se nepletu tedy).

simonaj1 · 15. 07. 2009 20:09

↑ kaja(z_hajovny): tady se nežení... tady je aprílové počasí... jednu hodiny leje, pak svítí slunko... cikcak:-D

Matematické Fórum

#1 15. 07. 2009 18:22

lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

#2 15. 07. 2009 18:34 — Editoval Marian (15. 07. 2009 19:05)

Re: lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

#3 15. 07. 2009 19:06

Re: lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

#4 15. 07. 2009 19:24 — Editoval simonaj1 (15. 07. 2009 19:24)

Re: lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

#5 15. 07. 2009 19:36

Re: lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

#6 15. 07. 2009 19:38 — Editoval jarrro (15. 07. 2009 19:39)

Re: lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

#7 15. 07. 2009 19:50 — Editoval Ginco (15. 07. 2009 19:51)

Re: lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

#8 15. 07. 2009 20:09

Re: lim s ohraničenou a neohraničenou fcí

Zápatí