Matematické Fórum

Co si vzpomínám, tak u funkce 2 proměnných (a asi i více, ale to jsem nikdy nedělal) je největší problém dokázat, že limita vůbec existuje. Což snad obecně vůbec nejde, jen v některých speciálních případech - a jindy se nám zase třeba podaří dokázat, že limita neexistuje.

Pokud je ovšem funkce v bodě, kde hledáme limitu, normálně definovaná, máme skoro vyhráno. Pokud je (alespoň v malém okolí toho bodu) spojitá a hladká (tj má i spojité derivace), máme nejspíš vyhráno úplně.

No veru rada by som si to pozrela v zošite, ale ani jednu jedinú hodinu sme sa limitám s dvomi premennými, bohužiaľ, nevenovali a iba nám dali na domácu vyrátať každému jednu limitu. Ale limity s jednou premennou sme už mali, a tam viem, že sa mohli tie hodnoty bez problémov dosadiť to tej danej limity a keď nám to išlo dosadiť, teda nám vyšla konštanta, tak to bol výsledok. Ale chcela som sa len uistiť, či to takto platí aj pre limity s dvoma premennými alebo potrebujem k tomu ešte niečo vyrátať.

↑ laszky:
No veru úprimne netuším ako mám dokázať aká to je limita. :/

↑ Peter_CSR:

Hladkost (nekdy tez regularita) funkci se urcuje podle toho, do jakeho funkcniho prostoru patri. Napr. pokud je funkce f k-krat spojite diferencovatelna na otevrena mnozine U = ma spojite parcialni derivace az do k-teho radu vcetne. Ale treba pomoci integralu (a tzv. slabych derivaci) jsou definovany Lebesgueovy prostory nebo Sobolevovy prostory. Typu funkcnich prostoru je ale mnohem vic. ;-)

sykacova napsal(a):

↑ laszky:

No, tak toto už je na mňa dosť zložité keďže ani neviem, čo to je "sgn".
Ale tak teda čo sa týka tej mojej konkrétnej limity, tak stačilo len dosadiť? A to je celé? Alebo tiež tam je nejaký ďalší háčik? Ale tak keďže je definovaná na celom , tak myslím  že nemal by byť problém, či?

Když to je nějaká "normální", "hezká", "hladká" funkce, tak ano, stačí dosadit.


Jenže jsou i "nehezké" nebo "nehladké" nebo taky prostě jen nespojité funkce, kde tohle nefunguje.

Představ si, že máš funkci y=0x+5, což je tedy to samé jako y=5, pro každé x s výjimkou x=0, kde bude mít funkce hodnotu třeba 10.

A ptáš se, jaká je limita pro x->0. Když bychom dosadili, dostaneme těch 10 (protože funkce má v bodě 0 hodnotu 10), jenže limita je těch 5 (co má funkce v okolí bodu 0). Tohle je takový jednoduchý příklad funkce která pěkná není.

Jiný příklad je funkce, která pro x<0 bude y=-1, a pro x>=0 bude y=1. Taková funkce v bodě x->0 vůbec limitu nemá. Přitom hodnotu ano.

O tom to celé je. Když jsou ty funkce "hezké", je limita rovna hodnotě, když "hezké" nejsou, tak to není pravda.

Ale zpravidla počítáme limity tam, kde funkční hodnota není definována, jinak z toho totiž není žádný užitek. Proto mě tvůj příklad dost překvapuje.

Takže stačí v mojom prípade len dosadiť. A aj mňa prekvapil tento konkrétny príklad, zdalo sa mi to veľmi jednoduché len dosadiť, tak preto som sa radšej len chcela uistiť, či nerobím niekde chybu.

Ďakujem vám všetkým veľmi pekne za odpovede. Vážim si váš čas a ochotu.