Matematické Fórum

Podle mě to v bodě X=1 nekonverguje vůbec (v nějakém "normálním" smyslu).

↑ žabí hněv: 1. Aky je problem s derivaciou funkcie ?

2. Aky je (pre studenta vysokej skoly) problem s pouzivanim LaTeX-u?

Ahoj ↑ žabí hněv:,
Tvoje poznamky su nepresne. 
Malo by to byt, napr.
Vieme (zo SS)

To nam okamzite da, ze pre vyraz je maximum ktore je .

Co ti umoznuje najst aj Max. tvojej funkcie aj bez derivacie....

Inac, mozes aj pouzit, ze sucin dvoch faktorov konstatneho suctu je maximalny ak tie faktory su rovnake. 

Co sa tyka tvojho cvicenia ↑ žabí hněv:, mozes si overit tvoje riesenie aj tu https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Stejnoměrná_konvergence

žabí hněv napsal(a):

↑ vlado_bb:


K té derivaci se dostanu odpoledne, napíši svůj postup a řešení v TeXu.

Moj postup je takyto:

1. Najst bodovu limitu

2. Najst hodnoty maxim funkcii .

3. Vyslovit zaver o rovnomernej konvergencii.

Ale pockame si na tvoju derivaciu.

↑ MichalAld:

S nekonečnými řadami nelze obvykle zachazet jako s konečnymi řadami. Ne vždy lze užít analogie k asociativnímu zákonu pro sčítání

↑ vlado_bb:

Takže postupoval jsem stejně.

1. Bodová limita

2. Hodnoty maxim :

Po zderivování jsem řešil rovnici : během úprav neuvažuji , neboť pro je

Vyšel mi výsledek :

Funkční posloupnost nabývá kladných hodnot pro Pro a nabývá funkční posloupnost hodnoty nula. Z toho mi plyne závěr, že je lokální maximum.
3.
Po dosazení do počítám , což nesplňuje nutnou podmínku stejnoměrné konvergence, tedy daná funkční posloupnost není stejnoměrně konvergentní na daném intervalu.

Já jsem asi špatně pochopil to tvoje f_n(x) = x^n - x^2n ....

ty tečky neznamenají, že by to mělo další členy, že ?   Je to prostě jen f_n(x) = x^n - x^2n ?

žabí hněv napsal(a):

Vyšel mi výsledek :

Pak mi to vychází taky tak, i když mi dalo chvíli práce, než jsem pochopil, že tvůj výsledek je stejný jako můj, tedy že:



Je to hezká funkce, taková jednoduchá...když by si člověk nejdřív nakreslil graf (pro několik n), tak by to viděl hned:
(stejnoměrná konvergence je "shora", nestejnoměrná je "zboku", aspoň v běžných případech to tak je)
(kolečkem na myši lze graf zvětšovat)

No jo, to je právě ta konvergence co není stejnoměrná. Nekonverguje to tak, že by se ten "hrb" zmenšoval, ale tak, že se zužuje. Až zcela zmizí, v limitě.

A že je ta limitní funkce (na zadaném intervalu) spojitá - já nevím, jestli je to úpnlě přesné. v těch krajních bodech (v tomto případě v bodě 1) je spojitá jen zleva. Zprava už né.

Myslím, že dokonce platí nějaká věta, že když ta limitní funkce je nespojitá (a nemusí být takto, až do nekonečna, stačí kdy má jen "schod"), tak k ní funkční řada nemůže konvergovat stejnoměrně. V blízkosti toho "schodu" to bude vždy konvergovat nějak tak "zboku".

Já nejsem matematik, neznám ty důkazy a teorii kolem toho - ale v teorii signálů se běžně používá tzv. Fourierova řada - že se nějaká funkce rozkládá na součet sinusovek s frekvencemi . A když má ta limitní funkce nespojitost (u signálů se tomu říká skok), tak to k ní vždy konverguje taky takto zboku. Kolem toho zkoku se objeví takové "zákmity" a jejich velikost už s přidáváním dalších frekvencí neklesá, jen se zkracuje doba, kterou trvají.

Můžeš si to sám zkusit, třeba http://www.falstad.com/fourier/Fourier.html

↑ MichalAld:
limitna funkcia je spojita na uvazovanom intervale.

plati veta: su spojite a konverguju rovnomerne (na [0,1]) k , potom musi byt spojita

naopak to platit nemusi, teda spojite funkcie mozu konvergovat bodovo k spojitej funkcii a ta konvergencia nemusi byt rovnomerna; prikladom je tento priklad

aj ked da sa ta veta otocit ciastocne, napr. Diniho Veta