Matematické Fórum

Artii · 19. 08. 2018 08:44

Dobrý den, potřeboval bych kontrolu jednoho příkladu jelikož mi nevychází s výsledkem a rád bych věděl kde jsem udělal chybu.

Vypočtěte parciální derivaci $\frac{\partial ^{2}z}{\partial y {\partial }x }$ funkce $x = yx + \mathrm{e}^{x} f(u,v)$
$u = 2x^{3}siny$
$v = 3y^{2}cos2\pi$

Můj výsledek:

$1 + \mathrm{e}^{x}[\frac{\partial f}{\partial u}2x^{3}cosy + \frac{\partial f}{\partial v}6ycos2\pi ] + \mathrm{e}^{x}\frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}6xsiny$

Ve výsledku dle předlohy je ještě navíc na konci $+ \frac{\partial f}{\partial u}6x^{2}cosy + \frac{\partial^{2} f}{\partial v {\partial u}}6x^{2}siny6ycos2\pi$

Jj · 19. 08. 2018 10:13 — Editoval Jj (19. 08. 2018 11:33)

↑ Artii:

Hezký den.

Řekl bych, že smíšená derivace f není ještě celá, že

$f''_{yx}=f''_{yu}\cdot u'_x+f''_{yv}\cdot v'_x$ , což dá ještě další členy.

Edit - ještě dodám: Zřejmě $\cos 2\pi=1$

Artii · 23. 08. 2018 08:29 — Editoval Artii (23. 08. 2018 08:31)

Dobrý den, díky mám tu ještě jeden příklad ze zkoušky.

Vypočtěte:

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x{\partial y}}$ z funkce $z = 3y^{2} +x f(u,v)$ kde $u = e^{4x} - 3y$ ; $v = 2x$

Derivace z podle x:

$\frac{\partial z}{\partial x} = f(u,v) + x[\frac{\partial f}{\partial u}4e^{4x}+\frac{\partial f}{\partial v}2]$

Výsledek mi vyšel:

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -3 + x[\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}4e^{4x}*(-3)+\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial u}2*(-3)]$

$\frac{\partial z}{\partial x} = -3 - 3x[\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}4e^{4x}+\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial u}2]$

Dostal jsem za to 12 bodů z 16 => 4 body mi byli strženy za to $-3$ na začátku což moc nechápu protože jsem měl za to že derivace $f(u,v)$ podle y je -3.

LukasM · 23. 08. 2018 11:52

Artii napsal(a):
jsem měl za to že derivace $f(u,v)$ podle y je -3.

A není to $\frac{\partial f}{\partial u}\cdot (-3)$ ?

Artii · 23. 08. 2018 11:58

↑ LukasM:

Ahaaa to by bylo možné...Teď když na to koukám tak to dává smysl, super díky moc.

Artii · 24. 08. 2018 12:18

Dobrý den, mám tu ještě jeden který mi podle výsledku nevyšel.

Vypočítejte $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ z funkce $z = 2e^3 + xf(u,v)$ kde $u = \mathrm{e}^{x} +siny$ ; $v = tgy$

Můj výpočet:

$\frac{\partial z}{\partial x} = f(u,v) + x\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{e}^{x}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{e}^{x}+\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{e}^{x}+x\frac{\partial ^2f}{\partial u^2}\mathrm{e}^{2x}$

Výsledek ze zadání: (navíc před prvním výrazem 2 a před druhým x)

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{e}^{x}+x\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{e}^{x}+x\frac{\partial ^2f}{\partial u^2}\mathrm{e}^{2x}$

Asi to budou nějaké moje zapomenuté blbosti ale procházel jsem to několikrát a prostě nevim kde se tam ta 2 a x vzalo :-/

LukasM · 24. 08. 2018 12:28 — Editoval LukasM (24. 08. 2018 12:28)

↑ Artii:
No, ta první dvojka je celkem jasná a nechybí ti tam. Stačí sečíst první dva zlomky (jablko+jablko = 2*jablko).
Ten druhý zlomek ti tam pro jistotu chybí úplně. A je to proto, že při derivování funkce $x\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{e}^{x}$ ignoruješ, že je to součin tří funkcí, takže při jejím výpočtu musíš pravidlo provýpočet derivacesoučinu použít dvakrát, a vzniknou ti tři zlomky, ne dva.

Artii · 24. 08. 2018 12:33

Aha už je mi to jasné, díky to mi nedošlo že to jsou vlastně 3 funkce.

Matematické Fórum

#1 19. 08. 2018 08:44

Parciální derivace složené funkce

#2 19. 08. 2018 10:13 — Editoval Jj (19. 08. 2018 11:33)

Re: Parciální derivace složené funkce

#3 23. 08. 2018 08:29 — Editoval Artii (23. 08. 2018 08:31)

Re: Parciální derivace složené funkce

#4 23. 08. 2018 11:52

Re: Parciální derivace složené funkce

Artii napsal(a):

#5 23. 08. 2018 11:58

Re: Parciální derivace složené funkce

#6 24. 08. 2018 12:18

Re: Parciální derivace složené funkce

#7 24. 08. 2018 12:28 — Editoval LukasM (24. 08. 2018 12:28)

Re: Parciální derivace složené funkce

#8 24. 08. 2018 12:33

Re: Parciální derivace složené funkce

Zápatí