Matematické Fórum

Prva observacia. 
Ak mam realnu maticu 3x3.  Tak jej charakteristicky polynom je 3tieho stupna. 
Z analyzy viem, ze ma alebo 3 realne korene ( ak pocitame ich nasobnost), alebo jeden realny a dva, su komplexne zdruzene.

Tak lin. alegra nam v tom druhom pripade zarucuje, ze taka matica nie je diagonalibilna v
( v komplexnom prietore je!)
No  vsak taka matica je podobna ( viete co to znamena ) realnej matici formy

Co nam da uz dostatocne zaujimave informacie.   

A co to da v pripade rotacii?

Ahoj ↑ MichalAld:,
Vedi vieme ze jej det je 1 a je ortogonalna.  (To co si prakticky vyjadril)
Tak prides k matici formy



Na dnes koncim. 
Pokracovanie zajtra....

Zdravím kolegu ↑ vanok:.

Len taká poznámka: slovenské ani české odborné matematické texty nepoznajú termín diagonalibilná matica. Dokonca ani Google nič netuší.
Anglický termín diagonalibility však nájde - zrejme je to prevzaté odtiaľ.

Aby sme zbytočne nemiatli prípadných vyššej matematiky menej znalých poslucháčov a diskutujúcich, navrhujem používať zaužívaný termín diagonalizovateľná matica.

vanok napsal(a):

Ako sa daju vypocitat mocniny matice rotacie?

Pokud matici rotace umocníme na n-tou, znamená to, že provedeme n-krát tu rotaci, takže z uděláme . Nebo né ?

Ahoj ↑ MichalAld:,
No to ide o inu transformaciu (niekedy sa povie, ze ide o « hyperbolicku rotaciu »ta spodna cast matice, pouziva sa to v fyzike).
Porovnanie najdes tu. 
http://pi.math.cornell.edu/~web4520/CG15-0.pdf.
https://arxiv.org/pdf/1002.4728.pdf

Vratme sa k tejto otazke : ci mozme povedat o mocninach matice rotacie ( ako tu ↑ vanok:)?

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Ano k tomu dojdeme, ze ide o structure grupy.   

Ta sa oznacuje v priestore a v rovine.... ( v komplexnom pripade analogickom pripade pre unitarne matice a Hermitovske priestory [ kolega ↑ Ferdish: ma asi aj tu pouci]😀. To su grupy , ).
Grupa rotacii
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_spécial_unitaire

Andrejka3 napsal(a):

↑ MichalAld:
Není ortogonální?

To je pravda. Při použití běžného skalárního součinu není.

Když bychom ale povolili trochu jinou definici skalárního součinu, ve 2D případě jako



tak už by to ortogonální bylo.

↑ Andrejka3:↑ vanok:

Já bych s těmi hyperbolickými transformacemi neotravoval, ale ono je to ve fyzice docela důležité, zatímco matematici se tomu tak nějak vyhýbají. A jak říkám, algebra není zrovna má nejsilnější stránka, takže uvítám každou možnost se něco nového dozvědět.

V klasickém euklidovském prostoru ta hyperbolická transformace není nijak zvlášť speciální.

Naproti tomu ale v Minkowského prostoru, kde je skalární součin definován trochu jinak, už hyperbolické transformace ortogonální jsou.


O co mě vlastně jde je ten samotný pojem "rotace". Jestli je "normální" nazývat hyperbolickou transformaci jako rotaci.

Dřív jsem o tom takto nepřemýšlel, mě se to prostě nikdy nelíbilo ji takto nazývat, ale teď, když o tom přemýšlím, jediný rozdíl co vidím je, že jsme museli zrušit ten požadavek aby skalární součin byl pozitivně definitní ().

Poznámka pro nefyziky:
Vše je to o vztazích mezi prostorem a časem (teorie relativity), pokud budeme mluvit jen o 2D Minkowského prostoru nebo 2D časoprostoru, bude to jedna osa v prostoru a jedna v čase. V samotném prostoru samozřejmě platí běžná euklidovská metrika.

↑ MichalAld:
Ortogonalita vlastně znamená, že to zobrazení zachovává úhly. Pokud ale použiješ bilineární formu, která není pozitivně definitní, tak nevím.
Asi otázka pro algebraiky.

O grupách: líbily se mi skripta Trlifaje, příklady Stanovského. Když si zadáš algebra a jméno jednoho z těch dvou, určitě to najde pdf.

↑ vanok:
Já to nechci moc kritizovat, mě se na univerzitě líbilo, ať už to bylo jaké bylo, pořád jsem se tam spoustu věcí dozvěděl.

Ovšem i z názorů jiných lidí (a nakonec i samotných matematiků) bych řekl, že to je standardní problém, že matematika se vyučuje dost odtržená od toho, k čemu se pak má v reálném světě používat.

Obdobný problém je ovšem i s dalšími předměty (vlastně se dá říct se všemi), spousta věcí je taková dost odtržená od reálného světa, případně (na těch technických školách) je spousta věcí co se učí už dost zastaralých...

Cau ↑ MichalAld:,
Vsak je to dobre mat tvoj vlastny nazor. 
Ta organizacia toho co sa uci je urobena ako?

A aj keby bola sloboda toho, co sa moze vyucovat, asi vtedy ( napr.) matematik by chcel ucit asi ine ako robit radost fyzikom a na opak.   Ci nie?

Alebo potom by boli taky matematikofyzici a fyzikomatematici, co by zili v harmonii.

To samozřejmě můžu, když mi odpustíte formální nepřesnosti a terminologii...

Takže po objevu teorie relativity se přišlo také na to, že ji (Lorentzovu transformaci) lze interpretovat jako "rotaci" v trochu speciálním 4D prostoru. Tento prostor byl nazván časoprostor, nebo také někdy prostoročas (v angličtině), Minkowského prostor, nebo také "čtyř-prostor". Jednotlivé osy jsou samozřejmě ty 3 prostorové (x, y, z), a časová (t). Aby vynikly čistě geometrické vlastnosti, je třeba, abychom čas měřili ve "stejných jednotkách" jako prostor, tedy, aby nám rychlost světla byla rovna jedné (c = 1).  Jinak bychom museli všude místo t použít ct. Což vzorce dost komplikuje a zamlžuje.

Abychom měli konzistentní teorii, musíme použít všechny čtyři dimenze (x, y, z, t), ale pro demonstraci všech fyzikálních důsledků nám stačí vzít jednu prostorovou a jednu časovou dimenzi, třeba (x, t).

Body v tomto čtyřprostoru se nazývají UDÁLOSTI. To je docela důležité pochopit - událost má svoji polohu v prostoru i v čase. Událost tedy není hrnek položený na stole (nemá časovou souřadnici, stojí tam pořád), ani hrnek letící na podlahu, ale pokud se při dopadu rozbije, tak ono "rozbití" - to je přesně událost. Má svoji polohu prostorovou, i časovou.

Ze dvou bodů (událostí) můžeme podobně jako v klasickém Euklidově prostoru vytvořit vektor. Vektory ve čtyřprostoru se nazývají logicky čtyřvektory (aby se to nepletlo s obyčejnými vektory). A ve čtyřprostoru platí speciální způsob, jak počítáme "vzdálenost".

V Euklidovském prostoru ji počítáme dle zobecněné Pythagorovy věty:


Ve čtyřprostoru se u časové souřadnice objeví opačné znaménko:
nebo
(podle toho, co vychází kladné)

Tenhle malý detail se znaménkem má celou řadu neintuitivních důsledků. Protože čtverec délky () může vyjít kladný, nulový nebo i záporný. "Délku" ve čtyřprostoru zpravidla nazýváme časoprostorovým intervalem. A teď je samozřejmě problém, když nám vyjde záporné, jak spočítat to L. Vyřešilo se to radikálním způsobem - časoprostorové intervaly se rozdělily na "času-podobné" a "prostoru-podobné", a každý z nich se počítá tak, aby se dělala odmocnina z kladného čísla.

A tak jako se velikost vektoru nemění, když provádíme jeho rotaci, tak se velikost časoprostorového intervalu nemění, když na něj aplikujeme Lorentzovu transformaci, takže můžeme uvažovat, že je to taky taková "speciální" rotace. Speciální v tom smyslu, že zachovává velikost . (pro zjednodušení budeme uvažovat jen jednu prostorovou osu).

Věci, které jsou invariantní vzhledem k nějakým prostoro-časovým transformacím zpravidla mívají i nějaký přímý fyzikální význam. V případě času-podobného intervalu je to tzv. vlastní čas. Představme si, že se mezi dvěma událostmi pohybujeme konstantní rychlostí, a "táhneme si s sebou" nějaké hodiny. Tak čas, který ukáží tyto hodiny - to je přesně ten vlastní čas. A pokud jsou události prostorově vzdálené (nejsou ve stejném místě), je tento vlastní čas vždy menší, než rozdíl časových souřadnic těch dvou událostí.


Pokud teď vezmeme naše dvě události, mezi kterými se pohybuje konstantní rychlostí "naše laboratoř s hodinami", a budeme jejich (těch událostí) vzdálenost v prostoru zvětšovat, případně vzdálenost v čase zmenšovat, budeme potřebovat stále vyšší rychlost naší laboratoře. A jejich časoprostorová vzdálenost bude stále menší a menší (vlastní čas, ten který ukáží hodiny v naší letící laboratoři, bude stále kratší). Až nakonec dosáhneme stavu, kdy , kdy vzdálenost událostí v prostoru bude stejná jako jejich vzdálenost v čase, a časoprostorový interval vyjde nulový. To odpovídá tomu, že by se naše laboratoř s hodinami musela pohybovat jednotkovou rychlostí (což je rychlost světla).

(z relativistické dynamiky plyne, že žádný hmotný krám se takto rychle pohybovat nemůže, ale může se k té (jednotkové) rychlosti libovolně přiblížit).
Takže to máme časoprostorový interval o nulové velikosti. Zatímco v běžném prostoru, když má nějaký vektor nulovou velikost, má nulové i všechny složky, ve čytřprostoru tomu tak vůbec není. Čtyřvektory s nulovou velikostí jsou zcela běžné, odpovídají pohybu rychlostí světla.

Pokud bychom dále zvětšovali prostorovu vzdálenost mezi našimi událostmi či zkracovali časovou, vyjde nám ve vztahu pro interval záporná hodnota. Takže si vzorec "otočíme" (prohodíme plusy a minusy), a prohlásíme, že interval je v tomto případě "prostoru-podobný". Ano, odpovídal by pohybu nadsvětelnou rychlostí.

Z mnoha důvodů dnes předpokládáme, že žádná "reálná" věc se nadsvětelnou rychlostí nemůže pohybovat. Nicméně vytvořit dvě události, mezi nimiž je prostoru-podobný interval není vůbec nemožné, je to úplně běžné. Nicméně tyhle prostoru-podobné intervaly se chovají z našeho pohledu dost "podivně". Dochází tam k jakési "záměně" prostoru a času.

Pokud budeme mít dvě události s času-podobným intervalem, třeba kulka jež byla vystřelená z pistole a o něco později narazila do terče, můžeme aplikací vhodné Lorentzovy transformace dosáhnout toho, že prostorové souřadnice těchto událostí jsou stejné (budeme kulku pozorovat ze soustavy, která se pohybuje stejnou rychlostí). Takže kulka stojí na místě, jen v jiných časech vyletí z hlavně a narazí do terče.

U prostoru-podobných intervalů je to přesně naopak, vhodnou transformací lze dosáhnout toho, že hypotetická kulka (jež se pohybuje nadsvětelnou rychlostí), bude ve stejném čase na více místech v prostoru. A to se nám poněkud špatně fyzikálně interpretuje (nic takového ve světě nepotkáváme). To je jeden z důvodů, proč "věci" pohybující se nadsvětelnou rychlostí nepovažujeme za fyzikálně reálné.