Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 08. 2018 18:17

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Nalezení matice k vlastním číslům

Zdravím,
právě se potýkám s následující úlohou a nevím, kde dělám chybu:

Nalezněte matici $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ neobsahující nulu a s vlastními čísly $\lambda_1=1, \lambda_2=2$.

Postupoval jsem přes charakteristický polynom. Vycházel jsem ze vzorce, který tvrdí, že $\det(A-I\lambda)=0$ (kde $I\lambda$ je matice s vlastními čísly na diagonále), tedy:

$\det\begin{pmatrix}
a-1 & b\\ 
c & d-2
\end{pmatrix}=0$ pro matici $A$ zapsanou jako $\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}$.

Hledal jsem tedy $a, b, c, d$ taková, že charakteristický polynom $A$ je nulový:
$(a-1)(d-2)-(-b)(-c)=0$

Úvahou jsem dospěl k řešení $a=3, b=2, c=2, d=4$, tedy hledaná matice A by vypadala takto:

$\begin{pmatrix}
3 & 2 \\ 2 & 4
\end{pmatrix}$

Když jsem se však pro zkoušku pokusil vypočítat vlastní čísla této matice, nevychází mi to:

Charakteristický polynom matice A s dosazenými hodnotami vypadá takto:
$(3-\lambda)(4-\lambda)-2\cdot2=12-3\lambda-4\lambda+\lambda^2-4=\lambda^2-7\lambda+8$

Vzorcem pro kvadratickou rovnici dopočítám jeho kořeny, tedy vlastní čísla:
$\lambda_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-32}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}$

Což bohužel nevypadá jako těch $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ze zadání.

Nevidíte prosím někdo, kde dělám chybu?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) slender)

#2 24. 08. 2018 18:44

jarrro
Příspěvky: 5428
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

↑ slender:ahoj súčasne musí platiť
$\(a-1\)\(d-1\)-bc=0\nl
\(a-2\)\(d-2\)-bc=0$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 24. 08. 2018 18:45 — Editoval Andrejka3 (24. 08. 2018 18:49) Příspěvek uživatele Andrejka3 byl skryt uživatelem Andrejka3. Důvod: triplicita

#4 24. 08. 2018 18:47 — Editoval MichalAld (24. 08. 2018 18:48)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4408
Reputace:   117 
 

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

Podle mě to nemůžeš dělat takto:

$\det\begin{pmatrix}
a-1 & b\\ 
c & d-2
\end{pmatrix}=0$


Podle mě tam musíš nejdřív použít jedno vlastní číslo (na oba řádky) a potom to druhé. Dostaneš dvě rovnice,
a musíš najít nějakou matici, co je splňuje obě.


Taky by se to možná dalo dělat úplně jinak, napsat si přímo diagonální matici a pak vytvořit nějakou jí podobnou. Ale nevím, jestli je to míň práce.

Offline

 

#5 24. 08. 2018 18:50

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

Ugh, pravda, jak jsem to mohl tak blbě pomotat...

Díky moc všem.

Offline

 

#6 25. 08. 2018 03:50

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

Poznamka. 
Na rychle riesenie je mozne vyuzit, ze sucet diagonaly lubovolnej hladanej matice je sucet vlastnych hodnot( cize jej stopa) a a ich sucin musi byt jej determinant. 
(Na dokaz tejto vlasnosti staci dobre napisat charakteristicky polynom takej matice).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson