Matematické Fórum

slender · 24. 08. 2018 18:17

Zdravím,
právě se potýkám s následující úlohou a nevím, kde dělám chybu:

Nalezněte matici $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ neobsahující nulu a s vlastními čísly $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ .

Postupoval jsem přes charakteristický polynom. Vycházel jsem ze vzorce, který tvrdí, že $\det(A-I\lambda)=0$ (kde $I\lambda$ je matice s vlastními čísly na diagonále), tedy:

$\det\begin{pmatrix} a-1 & b\\ c & d-2 \end{pmatrix}=0$ pro matici $A$ zapsanou jako $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ .

Hledal jsem tedy $a, b, c, d$ taková, že charakteristický polynom $A$ je nulový:
$(a-1)(d-2)-(-b)(-c)=0$

Úvahou jsem dospěl k řešení $a=3, b=2, c=2, d=4$ , tedy hledaná matice A by vypadala takto:

$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Když jsem se však pro zkoušku pokusil vypočítat vlastní čísla této matice, nevychází mi to:

Charakteristický polynom matice A s dosazenými hodnotami vypadá takto:
$(3-\lambda)(4-\lambda)-2\cdot2=12-3\lambda-4\lambda+\lambda^2-4=\lambda^2-7\lambda+8$

Vzorcem pro kvadratickou rovnici dopočítám jeho kořeny, tedy vlastní čísla:
$\lambda_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-32}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}$

Což bohužel nevypadá jako těch $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ze zadání.

Nevidíte prosím někdo, kde dělám chybu?

jarrro · 24. 08. 2018 18:44

↑ slender:ahoj súčasne musí platiť
$$a-1$$d-1$-bc=0\nl $a-2$$d-2$-bc=0$

MichalAld

Podle mě to nemůžeš dělat takto:

$\det\begin{pmatrix} a-1 & b\\ c & d-2 \end{pmatrix}=0$

Podle mě tam musíš nejdřív použít jedno vlastní číslo (na oba řádky) a potom to druhé. Dostaneš dvě rovnice,
a musíš najít nějakou matici, co je splňuje obě.

Taky by se to možná dalo dělat úplně jinak, napsat si přímo diagonální matici a pak vytvořit nějakou jí podobnou. Ale nevím, jestli je to míň práce.

slender · 24. 08. 2018 18:50

Ugh, pravda, jak jsem to mohl tak blbě pomotat...

Díky moc všem.

vanok · 25. 08. 2018 03:50

Poznamka.
Na rychle riesenie je mozne vyuzit, ze sucet diagonaly lubovolnej hladanej matice je sucet vlastnych hodnot( cize jej stopa) a a ich sucin musi byt jej determinant.
(Na dokaz tejto vlasnosti staci dobre napisat charakteristicky polynom takej matice).

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2018 18:17

Nalezení matice k vlastním číslům

#2 24. 08. 2018 18:44

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

#3 24. 08. 2018 18:45 — Editoval Andrejka3 (24. 08. 2018 18:49) Příspěvek uživatele Andrejka3 byl skryt uživatelem Andrejka3. Důvod: triplicita

#4 24. 08. 2018 18:47 — Editoval MichalAld (24. 08. 2018 18:48)

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

#5 24. 08. 2018 18:50

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

#6 25. 08. 2018 03:50

Re: Nalezení matice k vlastním číslům

Zápatí