Matematické Fórum

vanok · 14. 11. 2018 19:33

Pozdravujem.

Nech je $A=4444^{4444}$ .
$B$ ciferny sucet cisla $A$ ,
$C$ ciferny sucet cisla $B$ ,
$D$ ciferny sucet cisla $C$ .
Vypocitajte $D$ .

Honzc · 20. 11. 2018 10:49

↑ vanok:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 22. 11. 2018 01:46

↑ vanok:
Ahoj,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 22. 11. 2018 05:09 — Editoval vanok (22. 11. 2018 07:59)

Komentar a jedno riesenie ( bez akejkolvek kalkulacky, ktore su zakazane na olympiadach).
Staci vediet ze
A) sucet cislic daneho prirodzeneho cisla $M$ a cisla $M$ maju rovnaky zvysok po deleni cislom 9.
Co da $A\equiv B\equiv C\equiv D\equiv 7$ mod 9
B) nie je nutne robit presne vypocty, lebo odhady cisiel A, B, C, D postacia
Tak $A\leq 10000^{4444}=10^{5 \times 4444}=10^{22220}$
$A$ ma menej ako $22220$ cislic ktore su najviac $9$
Preto $B \leq 9 \times 22220<9 \times 25000= 225000$ , $B$ ma prvu cislicu najviac $2$ a ostatne najviac $9$
co sa $C\leq 2+9 \times 5=47$
Podobne $D\leq 4+9=13$

C) Akoze mod 9 existuje jedine cislo mensie ako 13 a rovne cislu 7, mame $D=7$

Honzc · 27. 11. 2018 09:33

↑ vanok:
Zdravím,
jak se prosím tě přišlo na toto: $A\equiv B\equiv C\equiv D\equiv 7\text{ mod 9}$

vanok · 27. 11. 2018 12:09

Pozdravujem ↑ Honzc:,
Mysli na kriterium delitelnosti cislom 9.
Potrebujes podrobny dokaz?

vanok · 28. 11. 2018 13:34

Ahoj ↑ Honzc:,
Tak dobre., napisem ti viac podrobnosti, zo zaciatkom dokazu.
Co sa tyka $A\equiv B \text{ mod 9}$ (1) to ti urcite jasne, ze.
Primeniem este dalsiu velmi znamu vlasnost

Ak mame pre cele cisla $a,b,c,d$ take, ze $a\equiv b ;c\equiv d \text { mod 9}$ potom $ac \equiv bd \text { mod 9}$
. (2)
Tak mas vdaka (1), $4444 \equiv 4+4+4+4 \equiv 16 \equiv 1+6 \equiv 7$
A zvysok vdaka (2):
Najprv $7^2 \equiv 49 \equiv 4+9 \equiv 13 \equiv 1+3 \equiv 4$
Potom $7^3\equiv 7^2. \times 7\equiv 4 \times 7 \equiv 28 ... \equiv 1$

A tiez $4444= 3k+1$

Staci?