Matematické Fórum

Hafis · 15. 12. 2018 17:36 — Editoval Hafis (15. 12. 2018 17:37)

Dobrý den,
chtěl bych se zeptat, zdali definiční obor této funkce je R - {1] a obor hodnot je (pí/2, -pí/2).

$f_{x}=arctg(\frac{x+1}{x-1})$

Předem děkuji.

LukasM · 15. 12. 2018 18:08 — Editoval LukasM (15. 12. 2018 18:11)

↑ Hafis:
Pokud se nepletu, obojí je pravda (jen je zvykem při zapisování intervalu psát menší číslo doleva a jednobodovou množinu do složených závorek, tj. $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ ).

krakonoš · 15. 12. 2018 18:09

↑ Hafis:
Ano, jedine pozor na obor hodnot,čisla v intervalu maji byt prohozana. Jinak je dobre si uvedomit,že x+1/x-1 lze napsat jako 1+2/( x-1) a nacrtnout si funkci, zkoumat limitu jdouci k jedne zprava a zleva a podle toho si uvedomit i obor hodnot arctg

Hafis · 15. 12. 2018 18:33 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 11:29)

Díky, mám ale docela s tou funkcí problém. :x

Df,Hf vím.
Průsečíky jsou s osou y: [0,-pí/4]
s osou x: [-1,0]

lim do nekonečna: pí/4
lim do -nekonečna: pí/4

asymptota pro x=1

funkce není sudá ani lichá ani periodická
funkce je nespojitá

první derivace: -1/(xˆ2+1) -> nemá nulové body, nemá max, min, extrémy nejsou, ???neroste, neklesá???

druhá derivace: 2x/(xˆ2+1)ˆ2 takže nulový bod je 0

inflexní bod [0,-pí/4]
(-nekonečno,0) konkávní
(0,nekonečno) konvexní

krakonoš

Co se tyce tech limit do +-nekonecna, musis pouzit bud vztah o kterem jsem psala, nebo delit citatele i jmenovatele( v zavorce) x.Melo by to byt arctg(1). Ta prvni derivace mi ale vysla -1/1+ $x^{2}$ .
Druha derivace se pouziva pro vypocet konkavnosti,konvexnosti.Pro x vetsi jak 0 je kladna,takze je zde funkce konvexni, pro x mensi jak nula je zaporna,takze tam bude konkavni, v nule je tudiz inflexni bod.

Al1 · 15. 12. 2018 22:55

↑ Hafis:

Zdravím,
pro výpočet limit užij větu o limitě složené funkce. Asymptoty se směrnicí y=... máš chybně, první derivaci máš chybně- buď spočítané nebo zapsané, kupodivu druhá derivace je správně.

Hafis · 16. 12. 2018 11:10 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 11:11)

Už mám ty limity a podle krakonoše jsem to tedy spočítal y=arctg(1 + 2/x-1) a vyšlo mi pro - i + pí/4.. :)

První derivaci jsem si přepočítal a vyšlo mi taky nakonec: -1/(x^2+1).

Kdyžtak prosím koukněte nahoru, příspěvek jsem opravil. :)

krakonoš

↑ Hafis:
jeste si oprav komentar pro ty pruseciky s osami.Kdyz pises pro x,aby to nevypadalo jako prusecik funkce s osou x.Tady jde o prusecik funkce s osou y.
A nezapomen na ty asymptoty y rovna se....

Hafis · 16. 12. 2018 11:31 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 11:31)

A mohu se ještě zeptat na tu první derivaci, kde roste a kde klesá? :)

A když mám napsáno, rozhodni, kdy je funkce kladná a kdy záporná, tak kladná je fce: (-nekonečno,-1) a (1,nekonečno) a záporná: (-1,1) ?

Al1 · 16. 12. 2018 12:06 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 12:13)

↑ Hafis:

Hafis napsal(a):
Už mám ty limity a podle krakonoše jsem to tedy spočítal y=arctg(1 + 2/x-1) a vyšlo mi pro - i + pí/4.. :)

Tomu nerozzumím. Pro jaké -i ? Platí
$\lim_{x\to\infty}\mathrm{atan}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\frac{\pi }{4}\nl \lim_{x\to-\infty }\mathrm{atan}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\frac{\pi }{4}$

Hafis napsal(a):
A mohu se ještě zeptat na tu první derivaci, kde roste a kde klesá?

A co tím chceš vypočítat? Fce je (ostře) rostoucí, pokud je první derivace kladná. Tak posuď
$-\frac{1}{x^{2}+1}>0$ - a to je záležitost jednoduché logické úvahy o tom, pro jaké hodnoty čitatele a jmenivatele získáváš nezáporný výsledek

Hafis · 16. 12. 2018 12:10

↑ Al1:

Pro -nekonečno i pro +nekonečno.. :)

Takže fce je v celém svém intervalu klesající, jo?

Al1 · 16. 12. 2018 12:11

↑ Hafis:

V jakém svém intervalu? Zapiš ho, prosím.

Hafis · 16. 12. 2018 12:12 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:12)

↑ Al1:

Funkce je klesající: (-nekonečno,1) a (1,nekonečno)?

Al1 · 16. 12. 2018 12:13

↑ Hafis:

A ta spojka a znamená co? Průnik?

Hafis · 16. 12. 2018 12:13 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:14)

Jojo, průnik.

Al1 · 16. 12. 2018 12:15 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 12:15)

↑ Hafis:

Dořeš, prosím, ještě

Al1 napsal(a):
A ta spojka a znamená co? Průnik?

Hafis · 16. 12. 2018 12:16

Ano, znamená to průnik.

Al1 · 16. 12. 2018 12:17

↑ Hafis:

V tom případě je průnikem prázdná množina. Není to nesmysl, když definičním oborem fce není prázdná množina? Znamená to, že funkce není klesající na žádném intervalu? Plyne z toho, že je tedy rostoucí?

Hafis · 16. 12. 2018 12:19 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:20)

Pardon, spletl jsem se. Není to průnik. Myslel jsem to takhle: klesající: R \ {1}.

Al1 · 16. 12. 2018 12:24

↑ Hafis:

Také ne, fce je klesající na dvou intervalech: (-nekonečno,1); (1,nekonečno).Zopakuj si definici fce klesající (či rosttoucí) na intervalu

Hafis · 16. 12. 2018 12:29 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:30)

↑ Al1:

A mohu se zeptat čím se liší (-nekonečno,1) $\cup$ (1,nekonečno) se zapsáním R \ {1}?

A je alespoň jeden zápis z těchto 2 zápisů pravdivý vzhledem k mé funkci?

Al1 · 16. 12. 2018 12:35 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 12:38)

↑ Hafis:

Ani jeden zápis není správný:
(-nekonečno,1) ∧ (1,nekonečno) je průnik a výsledkem je prázdná množina. Ale ty jsi našel intervaly, ve kterých je první derivace nezáporná.
Ve druhém případě dám jednodušší příklad na pochopení. Měj funkce y=1/x s def. oborem R \ {0}. Pokud bys tvrdil, že fce je v této množině klesající, pak podle definice by pro každé dvě x mělo platit, že roste-li x, klesá y (zjednodušeně).
Takže např. by podle tebe mělo platit $-4<6\Rightarrow -\frac{1}{4}>\frac{1}{6}$ Je to pravda? Není. Proto je funkce klesající na intervalech $(-\infty,0); (0;\infty )$ . Nikoli na průniku těch intervalů či na jejich sjednocení.

Správná odpověď ve tvé úloze je: fce je klesající na dvou intervalech: (-nekonečno,1); (1,nekonečno)

Edit: překontroluj obor hodnot.

Hafis · 16. 12. 2018 13:09

Aha, dobře. Už to chápu.

A nelze napsat synonymní zápis pro: (-nekonečno,1); (1,nekonečno) jako (-nekonečno,1) $\cup$ (1,nekonečno)?

Obor hodnot je (-pí/2,pí/2)

Al1 · 16. 12. 2018 13:38 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 13:38)

↑ Hafis:

Hafis napsal(a):
A nelze napsat synonymní zápis pro: (-nekonečno,1); (1,nekonečno) jako (-nekonečno,1) $\cup$ (1,nekonečno)?

No nelze, o tom jsem právě celou tu dobu hovořil, když to sjednotíš, dostaneš se do situace viz #22 pro fci y=1/x.

Hafis napsal(a):
Obor hodnot je (-pí/2,pí/2)

To právě není. Vždyť si spočítej asymptoty se směrnicí. A uvidíš.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2018 17:36 — Editoval Hafis (15. 12. 2018 17:37)

Průběh funkce

#2 15. 12. 2018 18:08 — Editoval LukasM (15. 12. 2018 18:11)

Re: Průběh funkce

#3 15. 12. 2018 18:09

Re: Průběh funkce

#4 15. 12. 2018 18:33 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 11:29)

Re: Průběh funkce

#5 15. 12. 2018 22:47 — Editoval krakonoš (15. 12. 2018 23:02)

Re: Průběh funkce

#6 15. 12. 2018 22:55

Re: Průběh funkce

#7 16. 12. 2018 11:10 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 11:11)

Re: Průběh funkce

#8 16. 12. 2018 11:26 — Editoval krakonoš (16. 12. 2018 11:29)

Re: Průběh funkce

#9 16. 12. 2018 11:31 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 11:31)

Re: Průběh funkce

#10 16. 12. 2018 12:06 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 12:13)

Re: Průběh funkce

Hafis napsal(a):

Hafis napsal(a):

#11 16. 12. 2018 12:10

Re: Průběh funkce

#12 16. 12. 2018 12:11

Re: Průběh funkce

#13 16. 12. 2018 12:12 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:12)

Re: Průběh funkce

#14 16. 12. 2018 12:13

Re: Průběh funkce

#15 16. 12. 2018 12:13 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:14)

Re: Průběh funkce

#16 16. 12. 2018 12:15 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 12:15)

Re: Průběh funkce

Al1 napsal(a):

#17 16. 12. 2018 12:16

Re: Průběh funkce

#18 16. 12. 2018 12:17

Re: Průběh funkce

#19 16. 12. 2018 12:19 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:20)

Re: Průběh funkce

#20 16. 12. 2018 12:24

Re: Průběh funkce

#21 16. 12. 2018 12:29 — Editoval Hafis (16. 12. 2018 12:30)

Re: Průběh funkce

#22 16. 12. 2018 12:35 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 12:38)

Re: Průběh funkce

#23 16. 12. 2018 13:09

Re: Průběh funkce

#24 16. 12. 2018 13:38 — Editoval Al1 (16. 12. 2018 13:38)

Re: Průběh funkce

Hafis napsal(a):

Hafis napsal(a):

Zápatí