Matematické Fórum

stitch123 · 23. 12. 2018 18:02

Zdravím!

Mám matematickou indukcí dokázat, že pro všechna přirozená čísla platí

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + n(n+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)*(n+2)*(3n+5)$

Jako první krok jsem si za $n$ dosadil jedničku. Vyšlo mi, že se levá strana rovná pravé.

Potom jsem přepsal všechny $n$ na $k$ a přidal si do rovnice k+1. člen.

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2 + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Nahradil jsem $1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2$ za $\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5)$

$\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5) + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Vynásobil jsem celou rovnici dvanácti.

$k*(k+1)*(k+2)*(3k+5)+12*(k+1)*(k+2)^2 = (k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

A tady jsem v podstatě skončil... Jediný, co mě napadá, je závorky postupně roznásobovat, ale to se mi zdá strašně otrocký a je tam velká šance na chybu z nepozornosti. Neexistuje nějaký inteligentnější řešení, prosím?

jarrro · 23. 12. 2018 18:43 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 07:23)

[mathjax]\begin{align}\frac{1}{12}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(3k+5\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)^2 &=\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k\left(3k+5\right)+12k+24\right)=\\
=\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(3k^2+17k+24\right) &= \frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3k+8\right)
\end{align}
[/mathjax]

stitch123

↑ jarrro: Díky za odpověď, ale buď tomu nerozumím, nebo ti to nevyšlo.

$\frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8) \neq \frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+6)$

jarrro · 23. 12. 2018 19:35 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 07:18)

↑ stitch123:[mathjax]\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3k+6\right)[/mathjax] nepotrebuješ.
potrebuješ [mathjax]\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3\left(k+1\right)+5\right)=
\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3k+8\right)
[/mathjax]

Pomeranc · 23. 12. 2018 19:46

stitch123 napsal(a):
Zdravím!

Mám matematickou indukcí dokázat, že pro všechna přirozená čísla platí

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + n(n+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)*(n+2)*(3n+5)$

Jako první krok jsem si za $n$ dosadil jedničku. Vyšlo mi, že se levá strana rovná pravé.

Potom jsem přepsal všechny $n$ na $k$ a přidal si do rovnice k+1. člen.

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2 + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Nahradil jsem $1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2$ za $\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5)$

$\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5) + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Vynásobil jsem celou rovnici dvanácti.

$k*(k+1)*(k+2)*(3k+5)+12*(k+1)*(k+2)^2 = (k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

A tady jsem v podstatě skončil... Jediný, co mě napadá, je závorky postupně roznásobovat, ale to se mi zdá strašně otrocký a je tam velká šance na chybu z nepozornosti. Neexistuje nějaký inteligentnější řešení, prosím?

$\frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*\textbf{(3k+6)}$

Chybu máš při dosazení k+1

stitch123 · 23. 12. 2018 20:06

Ahá, už to vidím... Když jsem to viděl v tom příspěvku od jarrra, tak jsem si to hned neuvědomil.

Díky oběma.

Matematické Fórum

#1 23. 12. 2018 18:02

Důkaz matematickou indukcí

#2 23. 12. 2018 18:43 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 07:23)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#3 23. 12. 2018 19:00 — Editoval stitch123 (23. 12. 2018 19:01)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#4 23. 12. 2018 19:35 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 07:18)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#5 23. 12. 2018 19:46

Re: Důkaz matematickou indukcí

stitch123 napsal(a):

#6 23. 12. 2018 20:06

Re: Důkaz matematickou indukcí

Zápatí