Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 12. 2018 18:02

stitch123
Příspěvky: 28
Škola: SPŠEIT Brno
Pozice: student
Reputace:   
 

Důkaz matematickou indukcí

Zdravím!

Mám matematickou indukcí dokázat, že pro všechna přirozená čísla platí

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + n(n+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)*(n+2)*(3n+5)$

Jako první krok jsem si za $n$ dosadil jedničku. Vyšlo mi, že se levá strana rovná pravé.

Potom jsem přepsal všechny $n$ na $k$ a přidal si do rovnice k+1. člen.

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2 + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Nahradil jsem $1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2$ za $\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5)$

$\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5) + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Vynásobil jsem celou rovnici dvanácti.

$k*(k+1)*(k+2)*(3k+5)+12*(k+1)*(k+2)^2 = (k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

A tady jsem v podstatě skončil... Jediný, co mě napadá, je závorky postupně roznásobovat, ale to se mi zdá strašně otrocký a je tam velká šance na chybu z nepozornosti. Neexistuje nějaký inteligentnější řešení, prosím?

Offline

 

#2 23. 12. 2018 18:43 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 07:23)

jarrro
Příspěvky: 5428
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

[mathjax]\begin{align}\frac{1}{12}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(3k+5\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)^2 &=\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k\left(3k+5\right)+12k+24\right)=\\
=\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(3k^2+17k+24\right) &= \frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3k+8\right)
\end{align}
[/mathjax]


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 23. 12. 2018 19:00 — Editoval stitch123 (23. 12. 2018 19:01)

stitch123
Příspěvky: 28
Škola: SPŠEIT Brno
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

↑ jarrro: Díky za odpověď, ale buď tomu nerozumím, nebo ti to nevyšlo.

$\frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8) \neq \frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+6)$

Offline

 

#4 23. 12. 2018 19:35 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 07:18)

jarrro
Příspěvky: 5428
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

↑ stitch123:[mathjax]\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3k+6\right)[/mathjax] nepotrebuješ.
potrebuješ [mathjax]\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3\left(k+1\right)+5\right)=
\frac{1}{12}\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(3k+8\right)
[/mathjax]


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 23. 12. 2018 19:46

Pomeranc
Příspěvky: 612
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

stitch123 napsal(a):

Zdravím!

Mám matematickou indukcí dokázat, že pro všechna přirozená čísla platí

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + n(n+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)*(n+2)*(3n+5)$

Jako první krok jsem si za $n$ dosadil jedničku. Vyšlo mi, že se levá strana rovná pravé.

Potom jsem přepsal všechny $n$ na $k$ a přidal si do rovnice k+1. člen.

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2 + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Nahradil jsem $1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2$ za $\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5)$

$\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5) + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Vynásobil jsem celou rovnici dvanácti.

$k*(k+1)*(k+2)*(3k+5)+12*(k+1)*(k+2)^2 = (k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

A tady jsem v podstatě skončil... Jediný, co mě napadá, je závorky postupně roznásobovat, ale to se mi zdá strašně otrocký a je tam velká šance na chybu z nepozornosti. Neexistuje nějaký inteligentnější řešení, prosím?

$\frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*\textbf{(3k+6)}$

Chybu máš při dosazení k+1

Offline

 

#6 23. 12. 2018 20:06

stitch123
Příspěvky: 28
Škola: SPŠEIT Brno
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

Ahá, už to vidím... Když jsem to viděl v tom příspěvku od jarrra, tak jsem si to hned neuvědomil.

Díky oběma.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson