Matematické Fórum

firework5555 · 19. 01. 2019 23:52

Dobry vecer, vedeli by ste mi prosím poradit, ako na nasledujcu dif. rovnicu?

y' = 1 - y^2

Pride mi, že separacia premennych nejde pouzit... resp integral z 1/(1- y^2) sa da lahko spocitat cez parc.zlomky, ale je to komplikovane vyjadreni a pak nejde osamostatnit ypsilon...

Hovoril som si, že by to mohol byt este priklad na Bernoulliho rovnici.. ale to tiez nefunguje...

Vedel by mi prosim niekto poradit, aky aparat na tento priklad vyuzit?
Dakujem mockrat za typy

laszky · 20. 01. 2019 00:09 — Editoval laszky (20. 01. 2019 00:11)

↑ firework5555:

Ahoj, co takhle $y=\pm1$ ? ;-)

A jaktoze nejde osamostatnit y?

firework5555 · 20. 01. 2019 09:31

Dobry den, to ste mi napisal rovno riesenie ktore to splnuje? :) no tak akou metodou mam rovnici riesit prosim? jasne kebyze chcem pocitat integral z 1/(1- y^2) = 1/((1- y).(1+y)), to sa potom rozpise na parcialni zlomky a doresi... ale nejde hezky osamostatnit ypsilon, na pravej strane mam integral z jedničky, což je x + c .

Ide mi spis o to aku metodu nasadit... hadani je asi jedno reseni y = 1 , ale obecnych bude asi vic

Dekuji

firework5555 · 20. 01. 2019 10:01

podla wolframu ma vyjst toto, ale neviem sa k tomu dopracovat:
y(x) = (1 - e^(2 c_1 + 2 x))/(e^(2 c_1 + 2 x) + 1)

laszky · 20. 01. 2019 10:54

↑ firework5555:

Nechapu, proc nejde osamostatnit y?

$\int \frac{1}{1-y^2}\,\mathrm{d}y = x+C$

$\int \frac{1/2}{1+y}+\frac{1/2}{1-y}\,\mathrm{d}y = x+C$

$\frac{1}{2}\ln|1+y|-\frac{1}{2}\ln|1-y| = x+C$

$\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = x+C$

$\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = 2(x+C)$

$\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = \mathrm{e}^{2(x+C)}$

Takze pro $y\in(-1,1)$ je

$1+y = (1-y)\mathrm{e}^{2(x+C)}$

$y\left(1+\mathrm{e}^{2(x+C)}\right)=\mathrm{e}^{2(x+C)}-1$

$y=\cdots$

Pro $y\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ je

$1+y = -(1-y)\mathrm{e}^{2(x+C)}$

$y\left(1-\mathrm{e}^{2(x+C)}\right)=-\mathrm{e}^{2(x+C)}-1$

$y=\cdots$

Pozn.: Reseni jde take zapsat jako $\tanh(x+C)$ a $\coth(x+C)$

Al1 · 20. 01. 2019 12:38

↑ laszky:
Zdravím,
nestačilo jen popostrčit? Nebo ti došla trpělivost? :-)

laszky · 20. 01. 2019 13:23

↑ Al1:

Dosla.

firework5555 · 20. 01. 2019 14:23

jo dekuji, nenapadlo mi to roznasobovat a upravovat potom, resp do logaritmu som si vzdy daval vyraz typu ln(1-y)^1/2 ... a pak jsem to odlogaritmoval, pak mocnil atd.. a vychadzali mi komplikovane vyrazy, ale jasne chapu :) dekuji

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2019 23:52

diferencialna rovnica

#2 20. 01. 2019 00:09 — Editoval laszky (20. 01. 2019 00:11)

Re: diferencialna rovnica

#3 20. 01. 2019 09:31

Re: diferencialna rovnica

#4 20. 01. 2019 10:01

Re: diferencialna rovnica

#5 20. 01. 2019 10:54

Re: diferencialna rovnica

#6 20. 01. 2019 12:38

Re: diferencialna rovnica

#7 20. 01. 2019 13:23

Re: diferencialna rovnica

#8 20. 01. 2019 14:23

Re: diferencialna rovnica

Zápatí