Matematické Fórum

Kdesi jsem četl, že prý existuje konzistentní rozšíření analýzy, pracující se "skutečnými" nekonečně malými čísly (nikoliv jen ve smyslu limit, tak jak je běžné).

Nicméně mě to přijde jako nesmysl:

Označme R* množinu reálných čísel rozšířenou o ta nekonečně malá čísla. Pro začátek prostě přidejme k R nějaké nekonečně malé číslo epsilon, a podívejme se co to generuje. Rozhodně pro každé x reálné musí být definován součin x*epsilon, což generuje "nekonečně malou kopii R kolem nuly", dále pro každé x z R musí být definováno x+eps, což spolu s předchozím dává nekonečně malou kopii R kolem každého reálného čísla...

docela absurdní, ale řekněme že potud OK. Velký problém ale vidím s větou o suprému:
Jakpak by asi vypadalo
inf {x z R* | x>0 & x z R} ? (tj. infimum množiny všech kladných, ovšem konečně malých R* čísel...)

Podle mého názoru by toto infimum vůbec neexistovalo. Bez věty o suprému ta celá struktura není spojitá... a bez spojitosti (koneckonců i bez věty o suprému, ono je to ekvivalentní, že) se celá analýza rozpadá na padrť...

ergo plyne mi z toho závěr, že myšlenka, přidat k R "nekonečně malá čísla" nikam nevede, je to nesmysl, a na začátku zmíněné rozšíření analýzy je max. tak děravým pokusem nějakého amatéra...

Co si o tom myslíte?