Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 05. 2019 09:51 — Editoval stuart clark (04. 05. 2019 09:51)

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

function

Consider the polynomial $g(x)=ax^2+bx+c$ and $g(0)=0$ and $g(2)=2.$

Then minimum value of $\displaystyle \int^{2}_{0}|g'(x)|dx$ is

Offline

 

#2 05. 05. 2019 09:55

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

Re: function

From $g(0),$ we have $c=0$ and from $g(2)=4a+2b=2\Rightarrow b=1-2a$

So $g'(x)=2ax+b=2ax+(1-2a)=2a(1-x)+1$ and $\int^{2}_{0}|2a(1-x)+1|dx$

Put $2a(1-x)=t$ and $dx=-\frac{1}{2a}dt$

we have $-\frac{1}{2a}\int^{1}_{-1}|2at+1|dt$

How i solve it please explain. Thanks

Offline

 

#3 05. 05. 2019 12:59

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4712
Reputace:   221 
 

Re: function

Let's start from the integral
$\int^{2}_{0}|2a(1-x)+1|\d x=\int^{2}_{0}|-2a|\cdot\left|x-1-\frac{1}{2a}\right|\d x$
apparently,
$\int\pm\left(x-1-\frac{1}{2a}\right)\d x=\pm\frac{x^2}{2}\mp x\left(1+\frac{1}{2a}\right)+C$
now you should discuss three cases
- 1+1/(2a) < 0,
- 0 ≤ 1+1/(2a) ≤ 2,
- 2 < 1+1/(2a),
compute the definite integrals, which give you some functions depending on 'a'.
Maximize them and choose the largest value.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 05. 05. 2019 17:00

krakonoš
Příspěvky: 1106
Reputace:   33 
 

Re: function

↑ stuart clark:
Hi Stuart Clark
g(0)=0 $\Rightarrow $ c=0
g(2)=0 $\Rightarrow $ $a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot b$
$I=\int_{0}^{2}|(1-b)x+b|dx$


a)If b<1 then the function is growing.
If b<1 and b>0  then we calculate the area of trapezoid $((2-b)+b)\cdot \frac{2}{2}=2$
If b<1 and b<0 then we calculate the area of two triangles
   $(1-b)x+b=0  \Leftrightarrow x=\frac{b}{b-1}$
    If $\frac{b}{b-1}<2$ then the area is  $\frac{b^{2}}{2\cdot (b-1)}+\frac{b-2}{b-1}\cdot \frac{2-b}{2}=2$
   The situation $\frac{b}{b-1}>2$ is not possible (b<1 & b>2)

b)If b>1 then the function is declining
There is the similar situation as in a).
If $\frac{b}{b-1}>2$ you will get  the same trapezoid.
If $\frac{b}{b-1}<2$ you will get  the same triangles.

c) If b=1 the function is constant I=2


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#5 06. 05. 2019 08:37 — Editoval stuart clark (06. 05. 2019 08:38)

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

Re: function

Thanks ↑ byk7: and ↑ krakonoš:.

Can we solve this way

$\int^{2}_{0}|g'(x)|dx \geq \bigg|\int^{2}_{0}g'(x)dx\bigg|=|g(x)|\bigg|^{2}_{0}=|g(2)-g(0)|=2.$

Equality hold when $g(x)=x$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson