Matematické Fórum

Ikaruss

Zdravím, mám tenhle příklad a netuším, jak se tento typ počítá:
Jestliže cotgα=−1, pak cos2α se rovná číslu?

Já vím, že tady je ve zvyku spíš napovědět, ale ocenil bych, pokud by mi postup počítání někdo rozepsal, moc by mi to pomohlo. Díky:)

byk7 · 29. 05. 2019 01:48

Z definice
$-1=\text{cotg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ .
Jaký je tedy vztah mezi $\cos\alpha$ a $\sin\alpha$ ?
A jaký je vzorec pro $\cos(2\alpha)$ ?

Druhou možností je z $\text{cotg}\,\alpha=-1$ spočítat úhel $\alpha$ a pak přímo dosadit.

vojta.tlustý

Stačí si uvědomit, jaku už bylo uvedeno výše že Cotg α je vlastně sinα/cosα poté se stačí podívat do grafu, kdy se funkce sinus a cosinus protnou, tedy kdy mají stejnou hodnotu. To nastává v $\frac{\pi }{4}$ a $\frac{5\pi }{4}$

Poté si zaneseš hodnoty do jednotkové kružnice a pootočíš s nimi o 90 stupňů tak, aby obě hodnoty ležely v takovém kvadrantu ve kterém je jedna funkce záporná a druhá kladná, tedy do 2. a do 4. tedy $\frac{3\pi }{4}$ a $\frac{7\pi }{4}$

Nyní jsme získaly hodnotu $\alpha$ můžeme napsat $\alpha=\frac{3 }{4}\pi + k\pi$
na poslední člen nesmíme zapomínat, neboť bez něj by nám mohlo zmizet jedno, nebo i více řešení. Tohle není ten případ, ale vyplatí se to dělat vždy, lepší to dělat vždy, než na to u těžších příkladů zapomenout.

V tuto chvíli stačí jen dosadit za α, dostaneme $cos \frac{3}{2}\pi +2k\pi$ na jednotkové kružnici leží $\frac{3}{2}\pi$ přímo pod $\frac{\pi}{2}$ takže výsledek bude jedna velká nula.

Al1 · 30. 05. 2019 21:56

↑ vojta.tlustý:
Zdravím,

vojta.tlustý napsal(a):
Stačí si uvědomit, jaku už bylo uvedeno výše že Cotg α je vlastně sinα/cosα

To není ani uvedeno v příspěvku ↑ byk7:, ani to není pravda. Jak píše kolega ↑ byk7:, $\text{cotg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Cheop · 31. 05. 2019 08:22

↑ Ikaruss:
Já bych počítal takto:
$-1=\text{cotg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\-\sin\,\alpha=\cos\,\alpha$
$\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\\\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=0\Rightarrow\\\cos\,2\alpha=0$

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2019 01:35 — Editoval Ikaruss (29. 05. 2019 01:37)

Goniometrie -příklad

#2 29. 05. 2019 01:48

Re: Goniometrie -příklad

#3 30. 05. 2019 13:46 — Editoval vojta.tlustý (30. 05. 2019 13:49)

Re: Goniometrie -příklad

#4 30. 05. 2019 21:56

Re: Goniometrie -příklad

vojta.tlustý napsal(a):

#5 31. 05. 2019 08:22

Re: Goniometrie -příklad

Zápatí