Matematické Fórum

dominiksep · 05. 06. 2019 11:54

Ahoj,
už poněkolikátý počítám následující příklad a nemůžu zjistit, kde mám chybu:

Pomocí integrálu v komplexní proměnné spočtěte
$\int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{a+\sin(t)},\;a>1$

Provedu substituci $z = e^{it}$ , čímž mi vznikne integrál
$\int_{\varphi}\frac{2i}{z^2+2aiz-1}$
pro křivku $\varphi = e^{it}, \; i \in [0;2\pi]$

Výraz ve jmenovateli má dva kořeny $z_1 = -ai - i\sqrt{a^2-1}, \;z_2 = -ai + i\sqrt{a^2-1}$ .
Lze ukázat, že první kořen leží mimo křivku, první leží uvnitř pro všechna uvažovaná $a$ .

Spočtu tedy integrál pomocí reziduové věty. Máme pól 1. řádu, vzorec pro výpočet se tedy zjednoduší na
$\text{Res}(f(z_2)) = \lim_{z \rightarrow z_2}\frac{2iz}{(z-z_1)(z-z_2)}(z-z_2) = \frac{2i\cdot i(\sqrt{a^2-1}-a)}{i(\sqrt{a^2-1}-a)+i(\sqrt{a^2-1}+a)} = \frac{i\sqrt{a^2-1}-a}{\sqrt{a^2-1}}$

V reziduové větě pak
$\int_{\varphi}f = 2\pi i\frac{i\sqrt{a^2-1}-a}{\sqrt{a^2-1}} = 2\pi \frac{a-\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}$

Problém však nastává, když si tento integrál hodím do Wolframu - vyjde jiný výsledek.

asi tam bude nějaká numerická chyba, ale já už ji fakt nevidím...
Díky

jelena · 05. 06. 2019 21:16

Zdravím,

nejdřív je potřeba trochu "učesat": pokud byl použit Euler. vzorec a následná substituce $z = e^{it}$ , potom pro křivku není $i \in [0;2\pi]$ , ale $t \in [0;2\pi]$ . Dál v zápisu $\int_{\varphi}\frac{2i}{z^2+2aiz-1}$ chybí $\d z$ , tedy $\int_{\varphi}\frac{2i}{z^2+2aiz-1}\d z$ .
A nakonec pro pol 1. řádu platí $\text{Res}(f(z_2)) = \lim_{z \rightarrow z_2}f(z)(z-z_2)$ - souhlasí? A tedy v čitateli

$\text{Res}(f(z_2)) = \lim_{z \rightarrow z_2}\frac{2iz}{(z-z_1)(z-z_2)}(z-z_2)$

nemá být $z$ , jen $2\rm{i}$ .

Souhlasí to? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2019 11:54

Spočtěte integrál pomocí integrálu v komplexní proměnné

#2 05. 06. 2019 14:23 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Zřejmě omyl.

#3 05. 06. 2019 21:16

Re: Spočtěte integrál pomocí integrálu v komplexní proměnné

Zápatí