Matematické Fórum

žabí hněv · 25. 08. 2019 21:16

Ahoj.

Řekneme, že mám množinu X a relaci na ní určenou.

Nakreslim si Hasseův diagram. Jak ale určím, respektive matematicky dokáži, že se jedná o svaz, aniž bych dokazoval, že pro všechny dvojice z množiny X existuje supremum a infimum?

Ptám se na to, jak argumentovat, aniž bych musel sáhodlouze vypisovat seznamy suprem a infim.

Děkuji

jarrro · 26. 08. 2019 08:34 — Editoval jarrro (10. 07. 2021 21:02)

Ak sa nemýlim (čo je celkom možné ) tak ak je ten poset konečný tak by malo stačiť ukázať, že každá konečná množina má supremum teda, že má najmenší prvok a každá dvojprvková má supremum.
Infimum potom bude supremum dolných ohraničení.

žabí hněv

↑ jarrro:

Moc z toho chytrej nejsem, ale to je moje chyba.

Dokázal by si mi vysvětlit, jak z níže uvedeného Hasseova diagramu dokážeš, že se jedná o svaz, aniž bys vypisoval všechna suprema a infima?

Uspořádání je dané dělitelností
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-08/37655_svaz.png

jarrro · 27. 08. 2019 08:08

Uvažuj najmenší spoločný násobok.

žabí hněv

↑ jarrro:

Asi už vím,

Pokud je $D_n$ množina dělitelů čísla $n$ , která je uspořádaná relací dělitelnosti, potom je $D_n$ svaz.

Takže, pokud budu mít takovouto uspořádanou množinu, potom stačí dokázat, že všechna čísla z množiny dělí největší prvek

Dle obrázku výše by to bylo číslo $n=120$

Jak toto tvrzení korektně dokáži? Zřejmě to bude tím, že supremum libovolné dvojice je nejmenší společný násobek této dvojice, a infimem bude největší společný dělitel.

Jde něco podobného i u uspořádání relací inkluze?

jarrro · 28. 08. 2019 07:23 — Editoval jarrro (28. 08. 2019 07:27)

Na obrázku sú delitele 60tky bez čísla 5.
že najmenší spoločný násobok je horné ohraničenie plynie z toho, že ide o usporiadanie deliteľnosťou a že je to supremum plynie z toho, že je najmenší.
Ak sa nemýlim tak poset deliteľov súčinu k rôznych prvočísel s deliteľnosťou je izomorfný s posetom podmnožín k-prvkovej množiny s inklúziou.

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2019 21:16

Jak dokázat, že Poset je svaz?

#2 26. 08. 2019 08:34 — Editoval jarrro (10. 07. 2021 21:02)

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

#3 26. 08. 2019 18:41 — Editoval žabí hněv (26. 08. 2019 18:43)

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

#4 27. 08. 2019 08:08

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

#5 27. 08. 2019 21:30 — Editoval žabí hněv (27. 08. 2019 22:19)

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

#6 28. 08. 2019 07:23 — Editoval jarrro (28. 08. 2019 07:27)

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

Zápatí