Matematické Fórum

vanok · 24. 11. 2019 09:58 — Editoval vanok (24. 11. 2019 09:59)

Pozdravujem,

Vyrieste tento system rovnic
$x(y +z)=1\\y(z+x)=1\\z(x+y)=1$

Kde x;y;z su realne nezname.

krakonoš · 24. 11. 2019 10:20

↑ vanok:
Ahoj
Řekla bych x=y=z= $\sqrt{2}/2$
nebo x=y=z= $-\sqrt{2}/2$

vanok · 24. 11. 2019 10:43

Ahoj ↑ krakonoš:,
Mas pravdu.
Mohla by si aj napisat ako si to riesila.
To moze byt velmi uzitocne stredoskolakom.

krakonoš

↑ vanok:Co je zajímavého na tomto příkladu, že vlastně na to nepotřebuješ ani tužku ani papír.
Stačí roznásobit závorky a uvědomit si, že jde vlastně o to, že u trojice xy, xz,yz musí být vždy součet jakýchkoli dvou prvků roven jedné , podobně jako u soustavy (a+b=1;a+c=1;c+b=1),kde proměnné můžeme navzájem zaměňovat, stále přitom dostáváme stejnou soustavu.Zde to povede k tomu, že musí být xy=yz=xz=1/2.A tady je vlastně podobná myślenka, jedině jde o násobení a uvědomění si znaménka -.

vanok · 24. 11. 2019 11:20 — Editoval vanok (24. 11. 2019 17:33)

↑ krakonoš:,
Dobra myslienka.

Ja som to riesiil formalnejsie. ( implikacnou metodou, cize na konci skuska je povinna).

Polozil som $a=xy; b= xz; c=yz$
To da system
$a+b=1\\a+c=1\\ b+c=1$

Co da $a=b=c=\frac 12$ .

Na dokoncenie....’

krakonoš · 24. 11. 2019 11:26

↑ vanok:
Oba jsme uvažovali prakticky stejně.Poslední myšlenka je vlastně stejná, jedině je zde místo sčítání použito násobení.Jde to uhádnout a výsledek je už znám.

vanok · 24. 11. 2019 11:39 — Editoval vanok (24. 11. 2019 11:41)

↑ krakonoš:,
Ano tvoja myslienka je dobra, rozdiel je asi v tom, ze ja pouzivam “algebricky” jazyk a ty popisujes riesenie.

No pre istotu napisem schematicky mozne ukoncenie.
Posledna rovnost nam da $x^2y^2z^2=\frac 18$
a tiez $x^2=y^2=z^2=\frac12$ ako aj $x=y=z$ .
To implikuje, riesenie co si vyssie napisala. A to jednoducho potvrdime skuskou.