Matematické Fórum

Andrew123 · 13. 01. 2020 17:50

Ahoj,
resim 2 dukazy tykajici se tematu inverzni funkce. Oba si jsou podobne a snad i kratke, tak to snad muze byt tady v jednom dotazu.. Vzhledem k tomu, ze v ucebnici je pouze zadani a neni reseni, tak bych zde chtel nekoho poprosit, zda by mi to mohl zkontrolovat, jestli je to dobre, ci zda by nenalezl elegantnejsi reseni. Me reseni se mi zdaji totiz prilis jednoduche..

Dokazte, ze plati:
a) Funkce $f^{-1}$ je prosta.
b) Je-li funkce $f$ rostouci, pak je i $f^{-1}$ rostouci.

Me reseni:
a) Funkce inverzni je definova pouze pro proste funkce. Pro $f^{-1}$ plati $D_{f-1}=H_f$ a $H_{f^{-1}}=D_f$ . Jinymi slovy, prohodil jsem jen dve osy, a protoze jednomu $x\in D_f$ bylo prirazeno pouze jedno $y \in H_f$ , tak to musi platit i obracene pro $f^{-1}$ , coz je vlastne definice proste funkce. Tim je dukaz hotov.
b) Funkce $f$ je rostouci, prave kdyz pro vsechna $x_1,x_2\in D_f$ plati: Je-li $x_1<x_2$ , pak $f(x_1)<f(x_2)$ . Protoze pro inverzni funkci jenom obratime osy, tak bude pro $f^{-1}$ platit nasledujici: Je-li ${x_1}<x_2$ , pak $f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)$ . Coz je definice rostouci funkce, cili plati, ze inverzni funkce $f^{-1}$ k rostouci funkci $f$ je opet rostouci.

Me reseni mi prijdou jako samozrejme, ze to snad neni ani potreba psat a mozna to proto neni uplne dobre... Slo by to vice rozepsat nebo znate nejake lepsi reseni?

Diky moc

A.

jarrro · 13. 01. 2020 20:57

a) ok
b) mi príde, že si nič nedokazoval.
Jedna možnosť je napr. dokázať obmenenú implikáciu.
Nech $f^{-1}{$x_1$}\geq f^{-1}{$x_2$}$ potom z rastúcosti f a definície inverznej funkcie máme $x_1\geq x_2$

Andrew123 · 14. 01. 2020 12:29

↑ jarrro:

OK, dekuji. Na to b) jeste mrknu.. Zkusim to, jak pises.. Take mi prijde, ze to me b) nic neprinasi.

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2020 17:50

Inverzni funkce - dukaz vlastnosti

#2 13. 01. 2020 20:57

Re: Inverzni funkce - dukaz vlastnosti

#3 14. 01. 2020 12:29

Re: Inverzni funkce - dukaz vlastnosti

Zápatí