Matematické Fórum

Roscelinius · 15. 01. 2020 19:53

Dobrý den,
prosím o pomoc:
hledám li kontrakci 2formy vektorem (vnitřní součin), postupuji takto:
$\omega =e^{1} \land e^{2}+ e^{3} \land e^{4}, v=(e_{1}-e_{2}+e_{3}-e_{4})$
$\iota _{v}\omega =(e^{1}(v)e^{2}-e^{2}(v)e^{1})+( e^{3}(v)e^{4}-e^{4}(v)e^{3}= (e^{2}-(-e^{1})+(e^{4}-(-e^{3})=e^{1}+e^{2}+e^{3}+e^{4}$

jak ale budu postupovat v případě 3 formy?
např::
$\omega =e^{1} \land e^{2}\land e^{3}+ e^{2}\land e^{3} \land e^{4}, v=(e_{1}-e_{2}+e_{3}-e_{4})$

zkoušel jsem vypočítat kontrakci 2 formy krát kontrakci jedna formy a vyšly mě odlišné výsledky, když jsem počítal nejdříve první dva prvky a nebo nejdříve druhé dva prvky vnějšího součinu.
Děkuji za rady

Roscelinius · 16. 01. 2020 07:36

je toto mé řešení správné?
užil jsem vzorec: $\omega =\omega _{ijk}(v^{i}e^{j} \land e^{k}-v^{j} e^{i} \land e^{k}+v^{k} e^{i} \land e^{j})=\omega _{ijk}(v^{i}e^{j} \land e^{k}+v^{j} e^{k} \land e^{i}+v^{k} e^{i} \land e^{j})$
tedy:
$\iota _{v}\omega =\omega _{ijk}(v^{i}e^{j} \land e^{k}+v^{j} e^{k} \land e^{i}+v^{k} e^{i} \land e^{j})=$
$1(+1e^{2} \land e^{3})+1(-1e^{3} \land e^{1})+1(+1e^{1} \land e^{2})$
$+1(-1e^{3} \land e^{4})+1(+1e^{4} \land e^{2})+1(-1e^{2} \land e^{3})=$
$=e^{1} \land e^{2}-e^{3} \land e^{1}-e^{3} \land e^{4}+e^{4} \land e^{2}$

Mohl by mi někdo říci jaký je význam kontrakce diferenciální formy s vektorem? Ve většině učebnic je o tom jen zmínka a jak se s tím počítá v druhé dimenzi, plus obecný vzorec. Uniká mi praktické užití. Prý elementární práce je kontrakce pole s objemovým elementem. Dokázal by mi někdo přiblížit souvisosti?
Děkuji.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2020 19:53

kontrakce (antisimetrické) 3-formy vektorem

#2 16. 01. 2020 07:36

Re: kontrakce (antisimetrické) 3-formy vektorem

Zápatí