Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 02. 2020 15:21

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

Binomial sum

If $S_{n}=\sum^{n}_{r=0}(-4)^r\cdot \binom{n+r}{2r}.$ Then $S_{2021}+2S_{2020}+S_{2019}=$

Offline

 

#2 19. 02. 2020 16:25

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Binomial sum

$S_{n}=\sum^{n}_{r=0}(-4)^r \binom{n+r}{2r}=(-1)^n(2n+1)
$

Offline

 

#3 21. 02. 2020 10:17

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

Re: Binomial sum

Thanks ↑ kerajs:

Can u please explain me

Offline

 

#4 22. 02. 2020 16:15 — Editoval kerajs (22. 02. 2020 16:17)

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Binomial sum

$
 S_n=S_{n-1}-4\sum_{i=0}^{n-1}S_i \\
 \Downarrow \\
 S_{n}=-2S_{n-1}-S_{n-2}  \ \ \wedge \ \ S_0=1 \ \ \wedge \ \ S_1=-3 \\
 \Downarrow \\
S_n=(-1)^n(2n+1)
$

Offline

 

#5 27. 02. 2020 15:24

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

Re: Binomial sum

Thanks ↑ kerajs:

but i did not understand how you calculate $\sum^{n-1}_{i=0}S_{i}$ and get the relation $S_{n}=-2S_{n-1}-S_{n-2}$

Offline

 

#6 29. 02. 2020 07:17 — Editoval kerajs (29. 02. 2020 07:35)

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Binomial sum

$
& {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} \\
& {n \choose n} = {n-1 \choose n-1} =...= {1 \choose 1}= {0 \choose 0}=1\\ 
& {n \choose 0} = {n-1 \choose 0} =...= {1 \choose 0}= {0 \choose 0}=1
$

$
& S_{n}=\sum^{n}_{i=0}(-4)^i \binom{n+i}{2i}=(-1)^n(2n+1)=
\color{blue}{  {n \choose 0}  }+\color{black}{\sum_{i=1}^{n-1}(-4)^i {n+i \choose 2i}} + \color{green}{ (-4)^n {2n \choose 2n}  }=\\
& =\color{blue}{  {n-1 \choose 0}  }+\color{black}{\sum_{i=1}^{n-1}(-4)^i \left[ {n+i -1\choose 2i-1}+{n+i -1\choose 2i}\right]}  + \color{green}{ (-4)^n {2n-2 \choose 2n-2}  }=\\
& = {n-1 \choose 0}+\sum_{i=1}^{n-1}(-4)^i {n+i -1\choose 2i}-4\left[ \sum_{i=1}^{n-1}(-4)^{i-1}  {n+i -1\choose 2i-1}+(-4)^{n-1} {2n-2 \choose 2n-2} \right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[ \sum_{i=1}^{n-1}(-4)^{i-1} \left[ {n+i -2\choose 2i-2}+ {n+i -2\choose 2i-1}\right] +(-4)^{n-1} {2n-2 \choose 2n-2} \right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+ \sum_{i=1}^{n-1}(-4)^{i-1}  {n+i -2\choose 2i-1}\right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+ \sum_{i=1}^{n-2}(-4)^{i-1} {n+i -2\choose 2i-1}  + (-4)^{n-2}{2n -3\choose 2n-3}\right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+ \sum_{i=1}^{n-2}(-4)^{i-1} \left[{n+i -3\choose 2i-2}+{n+i -3\choose 2i-1} \right] + (-4)^{n-2}{2n -4\choose 2n-4}\right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+ \sum_{i=1}^{n-2}(-4)^{i-1} {n+i -3\choose 2i-1}\right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+ \sum_{i=1}^{n-3}(-4)^{i-1} {n+i -3\choose 2i-1}+(-4)^{n-3}{2n -5\choose 2n-5}\right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+ \sum_{i=1}^{n-3}(-4)^{i-1} \left[{n+i -4\choose 2i-2}+{n+i -4\choose 2i-1} \right] + (-4)^{n-3}{2n -6\choose 2n-6}\right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+S_{n-3}+ \sum_{i=1}^{n-3}(-4)^{i-1} {n+i -4\choose 2i-1}\right]=\\
& =....=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+S_{n-3}+...+S_2+  {2\choose 1} +(-4){3\choose 3}  \right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+S_{n-3}+...+S_2+  {1\choose 0}+ {1\choose 1} +(-4){2\choose 2}  \right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+S_{n-3}+...+S_2+S_1 +  {1\choose 1}  \right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+S_{n-3}+...+S_2+S_1 +  {0\choose 0}  \right]=\\
& =S_{n-1}-4 \left[S_{n-1}+S_{n-2}+S_{n-3}+...+S_2+S_1 + S_0  \right]=\\
&= S_{n-1}-4\sum_{i=0}^{n-1}S_i
$

$
& S_n=S_{n-1}-4\sum_{i=0}^{n-1}S_i=S_{n-1}-4S_{n-1}-4\sum_{i=0}^{n-2}S_i=-3S_{n-1}-4\sum_{i=0}^{n-2}S_i+(S_{n-2}-S_{n-2})=\\
& =-3S_{n-1}+S_{n-1}-S_{n-2}=-2S_{n-1}-S_{n-2}
$

$
& S_0=(-4)^0{0\choose 0}=1 \\
& S_1=(-4)^0{1\choose 0}+(-4)^1{2\choose 2}=-3 \\
& S_{n}=-2S_{n-1}-S_{n-2}   \\
& r^2=-2r-1 \Rightarrow (r+1)^2=0 \\
& S_n=A(-1)^n+Bn(-1)^n \\
&  \begin{cases} 1=A\cdot (-1)^0+B\cdot 0 \cdot (-1)^0  \ \text{            for  }  S_0 \\ -3=A\cdot (-1)^1+B\cdot 1 \cdot (-1)^1  \ \text{         for  }  S_1\end{cases}  \\ 
&  \begin{cases} A=1 \\ B=2 \end{cases}  \\ 
& S_n=(-1)^n+2n(-1)^n =(-1)^n(2n+1)
$

Offline

 

#7 29. 02. 2020 09:40

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

Re: Binomial sum

Thanks so much ↑ kerajs:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson