Matematické Fórum

krakonoš

↑↑ 2M70:

$\int_{-\pi }^{\pi }cos(4-k)x dx=[\frac{sin(4-k)x}{4-k}]_{-\pi }^{\pi }=0$ pro k<>4
Jinak pro k=4 je to integrál z jedné.... Podobně pro ten druhý člen.To ale pochopitelně nevede k nekonečné řadě, takže zkoumat konvergenci moc nedává smysl

MichalAld · 22. 02. 2020 15:40

2M70 napsal(a):
Podle mě je na tom co řešit - jak tedy dokázat, že to je Fourierova řada, když to mám doložit standardním výpočtem - a ten nevím, jak provést?

A co nevíš jak provést? Nevíš jak spočíat integrál z cos ax * cos bx ?
Nebo co vlastně nevíš ?

2M70 napsal(a):
Nebo jak to dokázat jiným způsobem? Když uvedu jen ten rozklad sin^4x, tak je to jen tvrzení bez důkazu - a to mi nebude uznáno.

Ale fourierova řada je přeci jen jedna ... pokud se ti nějakou funkci f(x) podaří rozložit na součet

$f(x) = a_0 + a_1 cos(1x) + a_2 cos(2x) + a_3 cos(3x)...$

nemůže to být nic jiného...a je úplně jedno, jakým způsobem jsi k tomu došel.

2M70 · 22. 02. 2020 16:22

MichalAld napsal(a):
A co nevíš jak provést? Nevíš jak spočíat integrál z cos ax * cos bx ?
Nebo co vlastně nevíš ?

Nevím, jak spočítat např. integrál cos 2x * cos kx, abych se zbavil toho cos kx. Když to zkouším per partes, začnu dostávat ještě složitější výrazy, a zamotám se do toho.

Tedy vlastně vypočítat koeficient a,k trigonometrické Fourierovy řady.

MichalAld napsal(a):
Ale fourierova řada je přeci jen jedna ... pokud se ti nějakou funkci f(x) podaří rozložit na součet

$f(x) = a_0 + a_1 cos(1x) + a_2 cos(2x) + a_3 cos(3x)...$

nemůže to být nic jiného...a je úplně jedno, jakým způsobem jsi k tomu došel.

Jedná se právě o to, zdůvodnit, jak jsem k tomu došel ne-standardním způsobem, že jsem vlastně jen pomocí součtových vzorců rozepsal funkci sin^4x

krakonoš

↑ MichalAld:
Tady se ale musí dát pozor na případy, když máš např rozvést např na intervalu (0;pí) funkci cos x ve Fourierovu řadu, tak si už v tomto případě nemůžeš říct, že tato řada je vlastně už ten cosinus. To šlo říct jen u příkladu, který uváděl náš student, protože ta část se sinama vypadla .Na to POZOR! Tady bych byla fakt raději opatrná, protože na jiných intervalech se ani těch sinů nezbavíš, přestože sin^4 x už připomíná cosinovou část Four řady.

krakonoš · 22. 02. 2020 16:44

↑ 2M70:
Tady musíš používat vzorce, kde součin gon funkcí vyjádříš jako součet nebo rozdíl gon funkcí ( gon fce myslím zde sin a cos)

2M70 · 22. 02. 2020 16:47

↑ krakonoš:
Které vzorce máš konkrétně na mysli?

MichalAld · 22. 02. 2020 17:02

2M70 napsal(a):
Nevím, jak spočítat např. integrál cos 2x * cos kx, abych se zbavil toho cos kx. Když to zkouším per partes, začnu dostávat ještě složitější výrazy, a zamotám se do toho.

To já taky nevím, od toho jsou matematici...ale možná na to časem přijdu...

2M70 napsal(a):
Tedy vlastně vypočítat koeficient a,k trigonometrické Fourierovy řady.

Ale to k se přece nepočítá ... za k se postupně dosazuje 0, 1, 2, 3 ... n (teoreticky až do nekonečna), počítají se jen ta a (pro každé k získáme příslušné a_k)

2M70 · 22. 02. 2020 17:15

↑ MichalAld:
Vycházím z tohoto:

reálná trigonometrická řada

$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty }(a_{k}cos\frac{2k\pi }{l}x+b_{k}sin\frac{2k\pi }{l}x)$

kde b,k je =0, protože mám sudou funkci

A člen a,k pro sudou funkci

$a_{k}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)cos\frac{k\pi }{l}xdx$

krakonoš · 22. 02. 2020 17:17

↑ 2M70:
Goniometrické vzorce typu cos alfa + - cos beta
sin alfa +- sin beta
urçitě to bude na internetu

2M70 · 22. 02. 2020 17:26

↑ krakonoš:
Myslíš vzorec

$cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta ))$

?

MichalAld · 22. 02. 2020 17:32

krakonoš napsal(a):
↑ MichalAld:
Tady se ale musí dát pozor na případy, když máš např rozvést např na intervalu (0;pí) funkci cos x ve Fourierovu řadu, tak si už v tomto případě nemůžeš říct, že tato řada je vlastně už ten cosinus. To šlo říct jen u příkladu, který uváděl náš student, protože ta část se sinama vypadla .Na to POZOR! Tady bych byla fakt raději opatrná, protože na jiných intervalech se ani těch sinů nezbavíš, přestože sin^4 x už připomíná cosinovou část Four řady.

To je samozřejmě pravda - pokud budeme rozkládat sinus (či cosinus) na jiném intervalu než je jeho perioda, bude samozřejmě řada úplně jiná (a nekonečná), protože to pak odpovídá periodické funkci složené s fragmentů těch sinusovek, které na sebe nenavazují...

Ale funkce sin^4(x) má periodu PI, takže by to mělo být v pohodě...

Ale pravda je, že tady ty zadání kdy je pevně daný interval (a né prostě jen perioda) ... možná s tím nějaký zádrhel být může.

MichalAld · 22. 02. 2020 17:35

2M70 napsal(a):
↑ krakonoš:
Myslíš vzorec

$cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta ))$

?

No přesně ... a trik je v tom, že díky intervalu integrace ti výsledek vyjde vždycky 0 (protože integruješ vždy přes celý počet těch "vln"), s výjimkou případu cos(0), tedy když $\alpha = \beta$

krakonoš

↑ 2M70:
Ano.
Akdybys nyní dosądil za alfa výraz(alfa'-beta')/2, za beta výraz (alfa'+beta')/2. Dostaneš vzoreček pro cos alfa' + cos beta'.
Tyto vzorce jsou běžně v literatuře.Ty potřebuješ součin vyjádřit součtem , to je to co uvádíš.

2M70 · 22. 02. 2020 17:49

↑ MichalAld:
Ale nulový výsledek není cílem...a alfa=beta má znamenat, že u 2.členu je k=2 a u třetího členu k=4? To je mi divné.

2M70 · 22. 02. 2020 17:51

↑ krakonoš:
Ty apostrofy u alfa a beta mají znamenat derivace? Ale pořád mi tam překáží to k-čko.

MichalAld · 22. 02. 2020 18:05

2M70 napsal(a):
↑ MichalAld:
Ale nulový výsledek není cílem...a alfa=beta má znamenat, že u 2.členu je k=2 a u třetího členu k=4? To je mi divné.

Nulový výsledek je přesně tím cílem ... na tom to celé stojí, že nenulový výsledek to dává jen když se ta čísla rovnají.

Můžeš si to mmch představit jako vektory ... vektro v0 bude konstantní hodnota, vekotor v1s = sinx, v1c = cosx, vektor v2s = sin2x, v2c = cos2x ... atd.

A skalární součn mezi dvěma vektory je definovaný tím integrálem...

A můžeš si ověřit, že všechny ty vektory jsou navzájem ortogonální, tedy že skalární součin mezi libovolnými dvěma různými vektory je nulový, nenulový je pouze skalární součin dvou stejných vektorů. Když doplníme vhodné konstanty, budou vektory i ortonormální (tedy že skalární součin dvoj stejných vektorů bude roven jedné).

Tyto naše vektory tvoří bázi vektorového prostoru - což je prostor všech "rozumných" funkcí na daném intervalu.

Máme tedy nějakou funkci, která je daná lineární kobinací těch bázových vektorů, třeba

$F=a_0v_0 + a_1 v_{1s} + b_1 v_{1c} + a_2 v_{2s} + b_2 v_{2c} + ...$

A chceš nalézt ty koeficienty a0, a1, b1 atd...
Tak jak je to napsané je to velmi snadné ... stačí rovnici přenásobit libovolným bázovým vektorem - a získáme jeden konkrétní koeficient. Třeba když si vyberu bázový vektor v2s, tak na levé straně bude F.v2s a na pravé straně zůstane jen koeficient a2. (díky tomu, že skalární součin dvou různých navzájem orgogonálních vektorů je nulový)

2M70 · 22. 02. 2020 18:15

↑ MichalAld:
Tohle lineárně-algebraické řešení mě trochu zamotalo...jak mám vlastně "vyrobit" ty vektory?

MichalAld · 22. 02. 2020 18:55

Nemusíš je vyrábět, už je naštěstí vyrobili chytří lidé před námi...jednotlivé vektory jsou ty funkce sinx, sin2x, sin3x...cosx, cos2x, cos3x...

a skalární součin je definovaný pomocí toho integrálu:

$\int v_1(x)v_2(x)dx$

Jen se nesmí zapomenout, že je to vše na předem daném intervalu.

Jasně, chvíli to trvá, než se člověk srovná s tím, že vektory nemusí být nutně jen trojice čísel, mohou to být i n-tice, a n může být i nekonečné, takže vektory mohou být i nekonečné řady - a odsud už je jen krůček k představě, že vektory mohou být i spojité funkce.

Ale vektor může být obecně cokoliv, co se dá sčítat a násobit číslem. A když máme štěstí a podaří se nám "vyrobit" i vhodný skalární součin, máme vyhráno ... pak můžeme vytvořit i orthogonální vektory....

Celý trik s fourierovou řadou je vlastně v téhle algebře...že jednotlivé "bázové funkce" jsou navzájem orthogonální...

2M70 · 22. 02. 2020 20:07

MichalAld napsal(a):
... stačí rovnici přenásobit libovolným bázovým vektorem - a získáme jeden konkrétní koeficient. Třeba když si vyberu bázový vektor v2s, tak na levé straně bude F.v2s a na pravé straně zůstane jen koeficient a2. (díky tomu, že skalární součin dvou různých navzájem orgogonálních vektorů je nulový)

Co mám ale vzít jako bázový vektor a jak jím tu rovnici pronásobit, abych na pravé straně získal postupně ty tři koeficienty (3/8, -1/2, 1/8)?

MichalAld

↑ 2M70:

První z bázových vektorů je konstantní funkce (1), další jsou potom funkce sinx, cosx, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x atd...(je ale možné, že na intervalu 0..PI stačí používat jen funce cosx, cos2x, cos3x...to já teď přesně nevím) - vynásobené tou normalizační konstantou.

Jen pozor, to "přenásobení" znamená ten skalární součin definovaný pomocí integrálu...

Takže když vezmu tu první bázovou funkcí (konstantu) abych získal hodnotu koeficientu a_0, tak jde o výpočet

$\int_{0}^{\pi }1(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{8}cos4x)dx$

Výsledek je celkem zřejmý, nebo né ?

PS: nemám tam tu normalizační konstantu, ale v této fázi úvah to není úplně důležité...

2M70 · 22. 02. 2020 20:34

↑ MichalAld:
Mně to úplně zřejmé není, když spočtu ten integrál, dostanu něco úplně jiného. Nějak jsem to nepochopil.

MichalAld · 22. 02. 2020 20:39

A jak ho počítáš? A co dostaneš? (co můžeš dostat jiného než nějaké číslo?)

MichalAld · 22. 02. 2020 20:46

Když to počítám já .... integrál lze roložit na součet 3 dílčích integrálů...

$\int_{0}^{\pi }1(\frac{3}{8})dx = \frac{3}{8} \pi$

$\int_{0}^{\pi }1(-\frac{1}{2}cos 2x)dx = 0$

$\int_{0}^{\pi }1(\frac{1}{8}cos4x)dx = 0$

2M70 · 22. 02. 2020 20:54

↑ MichalAld:
Mně to taky vyšlo stejně:

$\int_{0}^{\pi }1(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x)dx=$

$=\frac{3}{8}[x]^{\pi }_{0}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}[sin2x]^{\pi }_{0}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}[sin4x]^{\pi }_{0}=$

$=\frac{3}{8}\pi -0+0=\frac{3}{8}\pi$

Výsledek tedy $\frac{3}{8}\pi$

Dostal bych tedy správný koeficient 3/8, ale vadí mi tam to pí.

MichalAld

pí je ta normalizační konstanta, kterou je to nutné vydělit. Pro ty ostatní bázové funkce je ovšem tuším poloviční (viz třeba tady), případně to máš i tady: ↑ 2M70:

Jako další krok si můžeš zkusit najít koeficient odpovídající bázové funkci cosx, tedy vypočítat

$\int_{0}^{\pi }cosx(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x)dx=$

Matematické Fórum

#26 22. 02. 2020 15:25 — Editoval krakonoš (22. 02. 2020 15:28)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#27 22. 02. 2020 15:40

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

#28 22. 02. 2020 16:22

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

MichalAld napsal(a):

MichalAld napsal(a):

#29 22. 02. 2020 16:30 — Editoval krakonoš (22. 02. 2020 16:39)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#30 22. 02. 2020 16:44

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#31 22. 02. 2020 16:47

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#32 22. 02. 2020 17:02

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

#33 22. 02. 2020 17:15

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#34 22. 02. 2020 17:17

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#35 22. 02. 2020 17:26

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#36 22. 02. 2020 17:32

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

krakonoš napsal(a):

#37 22. 02. 2020 17:35

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

2M70 napsal(a):

#38 22. 02. 2020 17:40 — Editoval krakonoš (22. 02. 2020 17:45)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#39 22. 02. 2020 17:49

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#40 22. 02. 2020 17:51

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#41 22. 02. 2020 18:05

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

2M70 napsal(a):

#42 22. 02. 2020 18:15

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#43 22. 02. 2020 18:55

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#44 22. 02. 2020 20:07

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

MichalAld napsal(a):

#45 22. 02. 2020 20:25 — Editoval MichalAld (22. 02. 2020 20:29)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#46 22. 02. 2020 20:34

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#47 22. 02. 2020 20:39

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#48 22. 02. 2020 20:46

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#49 22. 02. 2020 20:54

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#50 22. 02. 2020 21:09 — Editoval MichalAld (22. 02. 2020 21:32)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

Zápatí