Matematické Fórum

Ahoj,
jde o problém na hranici mezi fyzikou a optimalizací. Možná by mohl někoho v těchto složitých dobách zabavit.

Občas běhám, tak mě napadla úloha, jak se mají nohy efektivně pohybovat při běhu. (Budeme dost zjednodušovat, tak to nakonec možná nebude úplně odpovídat realitě.)

Uvažujme pohyb v kyčli a v koleni, kotník zanedbejme. Předpokládejme, že je noha za námi zcela natažena (stehno a lýtko tvoří přímku) a chceme ji přesunout co nejrychleji dopředu ovšem s co nejmenší energií. (Už to samo je nutno nějak přesněji formulovat.)

Pro zjednodušení předpokládejme, že na konci pohybu bude noha rovněž v přímce. (Je to trochu zjednodušení, protože ono to tak skoro je, ale než noha dopadne, tak se trochu v koleni ohne a v přímce není.) Tedy jsou dány počáteční a koncová pozice a chceme nohu co nejrychleji přesunout zezadu dopředu pomocí pohybu v kyčli a v koleni.

Teoreticky stačí k tomutu přesunu jen pohyb v kyčli (to že bychom pak nohou drhli o zem zanedbejme), ovšem takový pohyb spotřebuje mnoho energie, protože vzdálenost konce nohy (chodidlo) od osy otáčení (kyčel) bude příliš velká. Tedy je nutné nohu dostatečně pokrčit v koleni, aby se vzdálenost chodidla od osy rotace zmenšila. Ovšem pokud bychom nejprve nohu pokrčili v koleni a až následně začali otáčet v kyčli, tak by to trvalo příliš dlouho. Tedy je nutné oba pohyby nějak sesynchronizovat (což je v podstatě hlávní cíl této úlohy), např. chvíli jen pokrčovat nohu v koleni a následně pokračovat v pokrčování, ale začít i nohou otáčet v kyčli.

Je jasné, že úloha není zadána úplně přesně, např. je nutno specifikovat hmotnost stehna a lýtka, maximální rychlosti otáčení v koleni a v kyčli (předpokládejme, že této maximální rychlosti lze dosáhnout hned), rovněž není zatím jasné co vlastně chceme maximalizovat (minimalizace energie vs. maximální rychlost) - tedy dále uvažujme situaci, kdy chceme tento přesun provést za předem danou dobu (čímž je dána pevně rychlost, s jakou má být přesun proveden) a hledáme co nejmenší vynaloženou energii potřebnou k tomuto pohybu.

Délky lýtka a stehhna a jejich hmotnosti můžeme uvažovat jako parametry a lýtko a stehno můžeme pro jednoduchost uvažovat jako homogenní úsečky (se stejnou hustotou) nebo ještě jednodušeji můžeme uvažovat, že se celá hmotnost nohy soustředí ve dvou bodech: v koleni (jakožto hmotnost stehna) a v chodidle (jakožto hmotnost lýtka).

Výsledkem budou dvě funkce popisující např. jaký je úhel stehna a úhel lýtka v každém čase t jejich pohybu.

Také bych řekl, že by to mohl být dobrý námět na nějakou seminární práci.