Matematické Fórum

kastanek

Máme (pouze pomocí kružítka a pravítka) zkonstruovat rovnoramenný lichoběžník, v němž je dána délka ramene, délka úhlopříčky a vzdálenost průsečíku úhlopříček od ramene... Dílčí věci samozřejmě mám, rameno, k tomu rovnoběžku ve vzdálenosti toho průsečíku, kružnicový oblouk, ale dál naprosto netuším...
Nenapadá vás něco?

nejsem_tonda

Ahoj,
to je asi opravdu celkem dost tezka uloha. Jsem zvedavy, jestli nekdo najde jednodussi reseni nez ja.

1) Zamerim se na trojuhelnik, jehoz jedna strana je rameno lichobezniku a jehoz vrchol je prusecik uhlopricek.
V tomto trojuhelniku znam delku strany, oznacim , dale vysku a soucet zbyvajicich dvou stran, oznacim .

2) V tomto trojuhelniku umim spocitat jeho strany, ale ten vypocet porad neni primocary.
2.1) Umim spocitat obsah .
2.2) Vztah mezi stranami a obsahem udava tzv. Heronuv vzorec:
, kde je polovina obvodu.
2.3) Umim spocitat jak polovinu obvodu, tak i zavorku (s-a), takze predchozi vzorec mi vlastne rika, kolik je soucin
2.4) Vsimnu si, ze soucet umim spocitat taky. Plati totiz .
2.5) Na celou situaci se ted divam tak, ze pro nezname znam jejich soucin a jejich soucet. To vede na kvadratickou rovnici. Jakmile ji vyresim, dostanu hodnoty , tedy vlastne i strany , protoze polovinu obvodu uz jsem si spocital.

3) V tomto trojuhelniku znam delky vsech tri stran, takze ho sestrojim trivialne. Zbytek lichobezniku je potom taky snadny.

Kdybys chtel plne geometricke reseni, tak vsechny ty vypocty lze v principu provest geometricky, ale je to samozrejme dost hnusne. Trochu se o tom pise tady.

Honzc · 04. 04. 2020 18:47 — Editoval Honzc (05. 04. 2020 08:43)

↑ kastanek:
Jak píše ↑ nejsem_tonda: lze jeho postupem spočítat jednotlivé úseku dělené úhlopříčky.
Označíme-li: délku ramene b, délku úhlopříčky u a vzdálenost průsečíku úhlopříček od ramene v dostaneme pro úseky úhlopříčky vztah:
$u_{1,2}=\frac{u\pm b\sqrt{1-\frac{4v^{2}}{u^{2}-b^{^{2}}}}}{2}=\frac{u}{2}\pm x$
kde
$x=\frac{\frac{b}{2}\sqrt{u^{2}-b^{2}-(2v)^{2}}}{\sqrt{u^{2}-b^{2}}}$
Pro konstrukci x použijeme dvakrát pravoúhlý trojúhelník a 4.geom.úměrnou.
Aby šel lichoběžník zkonstruovat musí být splněny následující podmínky:
$u>b\wedge \frac{4v^{2}}{u^{2}-b^{2}}\le 1$
přičemž pro ...=1 přejde lichiběřník na obdélník
Zajímavé hodnoty (racionální) nastanou např.
b=3,u=5,v=1.2
b=3,u=5,v=1.6
b=3,u=5,v=2-obdélník
b=4,u=5,v=1.5-obdélník
b=4,u=8,v=3

b=5,u=13,v=3.6
b=5,u=13,v=6-obdélník
Tady je konstrukce

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nejsem_tonda · 05. 04. 2020 19:35

↑ Honzc:
Kdybys chtel zvolit cisla tak, aby vsechny delky byly celociselne, pak je vhodne kouknout na tzv. Heronian triangle. Kdyz takovy trojuhelnik bude ten, o kterem mluvim v kroku 1, budou potom celociselne i tve delky b, u, v.

Muzes mi prosim podrobneji napsat, co je 4. geometricka umerna?
Je to neco takoveho, ze ve vztahu znam tri hodnoty (jako narysovane usecky) a geometricky hledam tu ctvrtou?

Honzc · 06. 04. 2020 06:02

↑ nejsem_tonda:
4.g.ú je to co píšeš.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2020 18:05 — Editoval kastanek (31. 03. 2020 18:06)

Konstrukční příklad - těžký

#2 01. 04. 2020 23:11 — Editoval nejsem_tonda (01. 04. 2020 23:13)

Re: Konstrukční příklad - těžký

#3 04. 04. 2020 18:47 — Editoval Honzc (05. 04. 2020 08:43)

Re: Konstrukční příklad - těžký

#4 05. 04. 2020 19:35

Re: Konstrukční příklad - těžký

#5 06. 04. 2020 06:02

Re: Konstrukční příklad - těžký

Zápatí