Matematické Fórum

2M70 · 29. 04. 2020 17:43

Zdravím, potřeboval bych pomoci s následujícím:

Při řešení komplexního integrálu pomocí Cauchyovy věty pomocí substituce $z =z_{0}+\varepsilon e^{it}$

narážím na problém při určování integrabilní majoranty, abych mohl provést limitní přechod

$\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{}^{}f(t)i\varepsilon e^{it}dt=\int_{}^{}\lim_{\varepsilon \to 0}f(t)i\varepsilon e^{it}dt$

Konkrétně, například u integrálu

$\int_{}^{}\frac{ze^{z}}{z^{2}+4}dz$

na kružnici se středem 2i a poloměrem 2 (uvažujeme tedy jen pól 2i)

dojdu ke kroku

$\int_{0}^{2\pi }\frac{(2i+\varepsilon e^{it})(e^{2i+\varepsilon e^{it}})}{4i+\varepsilon e^{it}}\cdot idt$

a má platit integrabilní majoranta

$|\frac{(2i+\varepsilon e^{it})(e^{2i+\varepsilon e^{it}})}{4i+\varepsilon e^{it}}\cdot i|\le \frac{(2+\varepsilon )e^{\varepsilon }}{4-\varepsilon }$

Mohl bych vás poprosit, jak mám obecně postupovat při stanovení integrabilní majoranty v těchto případech? Přijde mi to dost obtížné.

Jiný příklad, kdy mám integrabilní majorantu určit sám:

$\int_{}^{}\frac{sin(z)}{z+i}dz, |z+i|=3$

Jeden z kroků je
$\frac{sin(z)(-i+\varepsilon e^{it})}{\varepsilon e^{it}}\cdot ie^{it}dt$
resp.
$sin(z)(-i+\varepsilon e^{it})\cdot i$

a mám najít integrovatelnou majorantu, abych směl dát limitu do integrálu. V tomto případě mě bohužel řešení nenapadá.

Dokázal by někdo poradit?

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2020 17:43

Integrbilní majorana při výpočtu integrálu pomocí Cauchyovy věty

Zápatí